Question

若数 $x$ 满足方程 $\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3$ ，则 $x^2$ 介于：

If $x$ is a number satisfying the equation $\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3,$ then $x^2$ is between:

$55$ 与 $65$ 之间

$55$ and $65$

$65$ 与 $75$ 之间

$65$ and $75$

$75$ 与 $85$ 之间

$75$ and $85$

$85$ 与 $95$ 之间

$85$ and $95$

$95$ 与 $105$ 之间

$95$ and $105$

答案：C

知识点：根式立方和与立方差对称性（代数）

难度评级：2290

小提示：

令 $u=\sqrt[3]{x+9}$ 且 $v=\sqrt[3]{x-9}$

Set $u=\sqrt[3]{x+9}$ and $v=\sqrt[3]{x-9}$

大提示：

同时利用 $u-v=3$ 和 $u^3-v^3=18$ 求 $uv$

Use both $u-v=3$ and $u^3-v^3=18$ to find $uv$

解答：

令 $u=\sqrt[3]{x+9}$ ， $v=\sqrt[3]{x-9}$ 。则 $u-v=3$ ，并且 $\begin{aligned} 18&=u^3-v^3\\ &=(u-v)(u^2+uv+v^2) \end{aligned}\text{，}$ 所以 $u^2+uv+v^2=6$ 。与 $(u-v)^2=9$ 比较，得 $uv=-1$ 。因此 $(u+v)^2=5$ 。对 $2u=3\pm\sqrt5$ 两边取立方，得到 $x=\pm4\sqrt5$ ；无论哪种情形， $x^2=80$ ，介于 $75$ 与 $85$ 之间。

所以正确答案是 C。

Let $u=\sqrt[3]{x+9}$ and $v=\sqrt[3]{x-9}.$ Then $u-v=3$ and $\begin{aligned} 18&=u^3-v^3\\ &=(u-v)(u^2+uv+v^2), \end{aligned}$ so $u^2+uv+v^2=6.$ Comparing with $(u-v)^2=9$ gives $uv=-1.$ Hence $(u+v)^2=5.$ Cubing $2u=3\pm\sqrt5$ gives $x=\pm4\sqrt5,$ and either way $x^2=80,$ between $75$ and $85.$

Therefore, the correct answer is C.

1963 AMC 12 第 40 题

答案：C

难度评级：2290

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 40 题