表达式 \frac(a)/(a+y)+(y)/(a-y) (y)/(a+y)-(a)/(a-y)，其中 a 为实数且 a\ne0 ，对于下列哪些取值，表达式的值为 -1 ？

(A) 除两个实数值外的所有 y

1963 AMC 12 真题与在线限时测验

计时

1:15:00

1.

以下哪一点不在函数 $y=\dfrac{x}{x+1}$ 的图像上？

Which one of the following points is not on the graph of $y=\dfrac{x}{x+1}?$

$(0,0)$

$\left(-\dfrac12,-1\right)$

$\left(\dfrac12,\dfrac13\right)$

$(-1,1)$

$(-2,2)$

答案：D

知识点：函数换元法

难度评级：1320

小提示：

代入坐标前先检查定义域

Check the domain before substituting coordinates

大提示：

所列的某个 $x$ 坐标会使分母为零

The denominator vanishes at one of the listed $x$ -coordinates

解答：

表达式 $\frac{x}{x+1}$ 在 $x=-1$ 时没有定义。因此，横坐标为 $-1$ 的点不可能在其图像上。

所以正确答案是 D。

The expression $\frac{x}{x+1}$ is undefined when $x=-1.$ Therefore no point whose first coordinate is $-1$ can lie on its graph.

Thus, the correct answer is D.

2.

设 $n=x-y^{x-y}$ 。求 $n$ 在 $x=2$ 且 $y=-2$ 时的值。

Let $n=x-y^{x-y}.$ Find $n$ when $x=2$ and $y=-2.$

$-14$

$0$

$1$

$18$

$256$

答案：A

知识点：换元法指数运算顺序

难度评级：1180

小提示：

先计算指数 $x-y$

First compute the exponent $x-y$

大提示：

先算幂，再从 $x$ 中减去它

Evaluate the power before subtracting it from $x$

解答：

这里 $x-y=2-(-2)=4$ ，所以 $n=2-(-2)^4=2-16=-14\text{。}$

所以正确答案是 A。

Here $x-y=2-(-2)=4,$ so $n=2-(-2)^4=2-16=-14.$

Therefore, the correct answer is A.

3.

若 $x+1$ 的倒数是 $x-1$ ，则 $x$ 等于：

If the reciprocal of $x+1$ is $x-1,$ then $x$ equals:

$0$

$1$

$-1$

$\pm1$

以上都不是

none of these

答案：E

知识点：分式方程二次方程

难度评级：1320

小提示：

把“ $x+1$ 的倒数”写成方程

Translate “the reciprocal of $x+1$ ” into an equation

大提示：

两边乘以 $x+1$ 后会出现平方差

Multiplying by $x+1$ leads to a difference of squares

解答：

方程为 $\frac1{x+1}=x-1$ 。因此 $1=x^2-1$ ，所以 $x=\pm\sqrt2$ 。这两个值都不在选项中。

所以正确答案是 E。

The equation is $\frac1{x+1}=x-1.$ Hence $1=x^2-1,$ so $x=\pm\sqrt2.$ Neither value is listed.

Thus, the correct answer is E.

4.

当 $k$ 取何值时，方程 $y=x^2$ 与 $y=3x+k$ 有两个相同的解？

For what value(s) of $k$ does the pair of equations $y=x^2$ and $y=3x+k$ have two identical solutions?

$\dfrac49$

$-\dfrac49$

$\dfrac94$

$-\dfrac94$

$\pm\dfrac94$

答案：D

知识点：抛物线切线二次方程

难度评级：1280

小提示：

令两个关于 $y$ 的表达式相等

Set the two expressions for $y$ equal

大提示：

交点重合意味着所得二次方程的判别式为零

A repeated intersection makes the resulting quadratic’s discriminant zero

解答：

交点满足 $x^2-3x-k=0$ 。要有两个相同的解，必须满足 $(-3)^2-4(1)(-k)=9+4k=0\text{，}$ 从而 $k=-\frac{9}{4}$ 。

所以正确答案是 D。

Intersections satisfy $x^2-3x-k=0.$ Two identical solutions require $(-3)^2-4(1)(-k)=9+4k=0,$ giving $k=-\frac{9}{4}.$

Therefore, the correct answer is D.

5.

若 $x$ 和 $\log_{10}x$ 都是实数，并且 $\log_{10}x\lt0$ ，则：

If $x$ and $\log_{10}x$ are real numbers and $\log_{10}x\lt0,$ then:

$x\lt0$

$-1\lt x\lt1$

$0\lt x\leq1$

$-1\lt x\lt0$

$0\lt x\lt1$

答案：E

知识点：对数不等式

难度评级：940

小提示：

实数范围内的对数要求真数为正

A real logarithm requires a positive argument

大提示：

把 $x$ 与 $10^0$ 比较

Compare $x$ with $10^0$

解答：

对数为实数要求 $x\gt0$ 。由于底数 $10$ 大于 $1$ ， $\log_{10}x\lt0=\log_{10}1$ 推出 $x\lt1$ 。

所以正确答案是 E。

The logarithm is real only for $x\gt0.$ Since base $10$ is greater than $1,$ $\log_{10}x\lt0=\log_{10}1$ implies $x\lt1.$

Thus, the correct answer is E.

6.

三角形 $BAD$ 在 $B$ 点为直角。线段 $AD$ 上有一点 $C$ ，满足 $AC=CD$ 且 $AB=BC$ 。角 $DAB$ 的度数是：

Triangle $BAD$ is right-angled at $B.$ On $AD$ there is a point $C$ for which $AC=CD$ and $AB=BC.$ The magnitude of angle $DAB,$ in degrees, is:

$67\dfrac12$

$60$

$45$

$30$

$22\dfrac12$

答案：B

知识点：直角三角形中点等边三角形

难度评级：1500

小提示：

直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等

A midpoint of a right triangle’s hypotenuse is equidistant from all three vertices

大提示：

利用 $AB=BC=AC$

Use $AB=BC=AC$

解答：

因为 $C$ 是斜边 $AD$ 的中点，所以 $AC=BC=CD$ 。又因为 $AB=BC$ ，三角形 $ABC$ 是等边三角形。因此 $\angle DAB=\angle CAB=60^\circ$ 。

所以正确答案是 B。

Since $C$ is the midpoint of hypotenuse $AD,$ $AC=BC=CD.$ Given $AB=BC,$ triangle $ABC$ is equilateral. Thus $\angle DAB=\angle CAB=60^\circ.$

Therefore, the correct answer is B.

7.

给出以下四个方程：

$\begin{aligned} (1)\quad&3y-2x=12,\\ (2)\quad&-2x-3y=10,\\ (3)\quad&3y+2x=12,\\ (4)\quad&2y+3x=10 \end{aligned}\text{。}$

其中表示两条垂直直线的一组是：

Given the four equations:

$\begin{aligned} (1)\quad&3y-2x=12,\\ (2)\quad&-2x-3y=10,\\ (3)\quad&3y+2x=12,\\ (4)\quad&2y+3x=10. \end{aligned}$

The pair representing perpendicular lines is:

$(1)$ 和 $(4)$

$(1)$ and $(4)$

$(1)$ 和 $(3)$

$(1)$ and $(3)$

$(1)$ 和 $(2)$

$(1)$ and $(2)$

$(2)$ 和 $(4)$

$(2)$ and $(4)$

$(2)$ 和 $(3)$

$(2)$ and $(3)$

答案：A

知识点：一次方程斜率

难度评级：1080

小提示：

把每个方程改写成斜截式

Rewrite each equation in slope-intercept form

大提示：

两条非竖直直线垂直时，斜率之积为 $-1$

Perpendicular nonvertical lines have slopes whose product is $-1$

解答：

直线 $(1)$ 的斜率是 $\frac{2}{3}$ ，直线 $(4)$ 的斜率是 $-\frac{3}{2}$ 。它们的积为 $-1$ ，所以这两条直线互相垂直。

所以正确答案是 A。

Line $(1)$ has slope $\frac{2}{3},$ and line $(4)$ has slope $-\frac{3}{2}.$ Their product is $-1,$ so these two lines are perpendicular.

Thus, the correct answer is A.

8.

最小正整数 $x$ 是多少，能使 $1260x=N^3$ 成立？其中 $N$ 是整数。

The smallest positive integer $x$ for which $1260x=N^3,$ where $N$ is an integer, is:

$1050$

$1260$

$1260^2$

$7350$

$44{,}100$

答案：D

知识点：质因数分解完全幂

难度评级：1680

小提示：

把 $1260$ 分解质因数

Factor $1260$ into primes

大提示：

把每个质因数的指数补到下一个 $3$ 的倍数

Raise every prime exponent to the next multiple of $3$

解答：

因为 $1260=2^2\cdot3^2\cdot5\cdot7$ ，要使每个指数都能被 $3$ 整除，最小的乘数是 $2\cdot3\cdot5^2\cdot7^2=7350\text{。}$

所以正确答案是 D。

Since $1260=2^2\cdot3^2\cdot5\cdot7,$ the least multiplier making every exponent divisible by $3$ is $2\cdot3\cdot5^2\cdot7^2=7350.$

Thus, the correct answer is D.

9.

在 $\left(a-\dfrac1{\sqrt a}\right)^7$ 的展开式中， $a^{-\frac{1}{2}}$ 的系数是：

In the expansion of $\left(a-\dfrac1{\sqrt a}\right)^7$ the coefficient of $a^{-\frac{1}{2}}$ is:

$-7$

$7$

$-21$

$21$

$35$

答案：C

知识点：二项式定理指数

难度评级：1850

小提示：

选取第二项 $r$ 次所得项的指数为 $7-\frac{3r}{2}$

The term choosing the second summand $r$ times has exponent $7-\frac{3r}{2}$

大提示：

先令该指数等于 $-\frac{1}{2}$ ，再求二项式系数及其符号

Set that exponent equal to $-\frac{1}{2}$ before finding the binomial coefficient and sign

解答：

恰好选取 $-a^{-\frac{1}{2}}$ 共 $r$ 次所得项的指数为 $7-r-\frac{r}{2}=7-\frac{3r}{2}$ 。令它等于 $-\frac{1}{2}$ ，得到 $r=5$ 。该项的系数是 $\binom75(-1)^5=-21$ 。

所以正确答案是 C。

The term using $-a^{-\frac{1}{2}}$ exactly $r$ times has exponent $7-r-\frac{r}{2}=7-\frac{3r}{2}.$ Setting this to $-\frac{1}{2}$ gives $r=5.$ Its coefficient is $\binom75(-1)^5=-21.$

Therefore, the correct answer is C.

10.

在正方形内部取一点 $P$ ，该正方形的边长为 $a$ ，所取点到两个相邻顶点的距离以及到这两个顶点对边的距离都相等。若 $d$ 表示这个公共距离，则 $d$ 等于：

Point $P$ is taken interior to a square with side-length $a$ and such that it is equally distant from two consecutive vertices and from the side opposite these vertices. If $d$ represents the common distance, then $d$ equals:

$\dfrac{3a}{5}$

$\dfrac{5a}{8}$

$\dfrac{3a}{8}$

$\dfrac{a\sqrt2}{2}$

$\dfrac a2$

答案：B

知识点：正方形（几何）垂直平分线距离公式

难度评级：1730

小提示：

到两个相邻顶点距离相等，所以 $P$ 在它们连线的垂直平分线上

The equal distances to two consecutive vertices put $P$ on their perpendicular bisector

大提示：

若到对边的距离为 $d$ ，利用两条直角边分别为 $\frac{a}{2}$ 和 $a-d$ 的直角三角形

If the distance to the opposite side is $d,$ use a right triangle with legs $\frac{a}{2}$ and $a-d$

解答：

令对边的高度为 $0$ ，两个顶点的高度为 $a$ 。则 $P=(\frac{a}{2},d)$ 。顶点距离与 $d$ 相等，故 $\left(\frac a2\right)^2+(a-d)^2=d^2\text{，}$ 所以 $\frac{5a^2}{4}=2ad$ ，从而 $d=\frac{5a}{8}$ 。

所以正确答案是 B。

Place the opposite side at height $0$ and the two vertices at height $a.$ Then $P=(\frac{a}{2},d).$ Equality of the vertex distance and $d$ gives $\left(\frac a2\right)^2+(a-d)^2=d^2,$ so $\frac{5a^2}{4}=2ad$ and $d=\frac{5a}{8}.$

Thus, the correct answer is B.

11.

一组 $50$ 个数的算术平均数是 $38$ 。若从中去掉 $45$ 和 $55$ 这两个数，剩余各数的算术平均数是：

The arithmetic mean of a set of $50$ numbers is $38.$ If two numbers of the set, namely $45$ and $55,$ are discarded, the arithmetic mean of the remaining set of numbers is:

$38.5$

$37.5$

$37$

$36.5$

$36$

答案：B

知识点：平均数整数运算

难度评级：1030

小提示：

根据平均数求出原来的总和

Recover the original sum from the mean

大提示：

减去 $45+55$ ，再除以 $48$

Subtract $45+55$ and divide by $48$

解答：

原来的总和是 $50\cdot38=1900$ 。去掉 $45+55=100$ 后，剩余各数之和为 $1800$ ，所以新的平均数为 $\frac{1800}{48}=37.5$ 。

所以正确答案是 B。

The original sum is $50\cdot38=1900.$ After removing $45+55=100,$ the remaining sum is $1800,$ so the new mean is $\frac{1800}{48}=37.5.$

Thus, the correct answer is B.

12.

平行四边形 $PQRS$ 的三个顶点是 $P(-3,-2)$ 、 $Q(1,-5)$ 、 $R(9,1)$ ，其中 $P$ 与 $R$ 是对角顶点。顶点 $S$ 的两个坐标之和是：

Three vertices of parallelogram $PQRS$ are $P(-3,-2),$ $Q(1,-5),$ $R(9,1)$ with $P$ and $R$ diagonally opposite. The sum of the coordinates of vertex $S$ is:

$13$

$12$

$11$

$10$

$9$

答案：E

知识点：平行四边形坐标几何中点

难度评级：1290

小提示：

平行四边形的两条对角线互相平分

The diagonals of a parallelogram bisect each other

大提示：

利用向量关系 $P+R=Q+S$

Use the vector relation $P+R=Q+S$

解答：

因为 $P+R=Q+S$ ，所以 $\begin{aligned} S&=P+R-Q\\ &=(-3,-2)+(9,1)-(1,-5)\\ &=(5,4) \end{aligned}\text{。}$ 坐标之和为 $5+4=9$ 。

所以正确答案是 E。

Since $P+R=Q+S,$ $\begin{aligned} S&=P+R-Q\\ &=(-3,-2)+(9,1)-(1,-5)\\ &=(5,4). \end{aligned}$ The coordinate sum is $5+4=9.$

Therefore, the correct answer is E.

13.

若 $2^a+2^b=3^c+3^d$ ，则整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 中最多有几个可以是负数？

If $2^a+2^b=3^c+3^d,$ the number of integers $a,$ $b,$ $c,$ $d$ which can possibly be negative is, at most:

$4$

$3$

$2$

$1$

$0$

答案：E

知识点：指数整除性奇偶性

难度评级：2160

小提示：

约分后，左边的分母只能含因数 $2$ ，右边的分母只能含因数 $3$

A reduced denominator on the left can contain only $2,$ while one on the right can contain only $3$

大提示：

先推出两边都是整数，再考察两个负指数幂之和何时可能是整数

Conclude both sides must be integers, then examine when a sum of two negative powers can be integral

解答：

化为最简分数后，左边的分母只能是 $2$ 的幂，右边的分母只能是 $3$ 的幂。两边相等就迫使两边都是整数。若 $c$ 或 $d$ 为负数， $3^c+3^d$ 的分母中仍会含因数 $3$ 。因此 $c,d\geq0$ 。

同理， $a$ 或 $b$ 为负数时，和为整数的唯一特殊情形是 $a=b=-1$ ，此时和为 $1$ 。但 $3^c+3^d\geq2$ 。所以也有 $a,b\geq0$ ，没有一个可以是负数。

所以正确答案是 E。

In lowest terms, the left side can have only a power of $2$ in its denominator, while the right side can have only a power of $3.$ Equality therefore forces both sides to be integers. If either $c$ or $d$ were negative, $3^c+3^d$ would retain a factor $3$ in its denominator. Thus $c,d\geq0.$

Likewise, negative $a$ or $b$ can give an integer only in the exceptional case $a=b=-1,$ whose sum is $1.$ But $3^c+3^d\geq2.$ Hence $a,b\geq0$ as well, so none can be negative.

Thus, the correct answer is E.

14.

给定方程 $x^2+kx+6=0$ 和 $x^2-kx+6=0$ 。如果适当排列两方程的根后，第二个方程的每个根都比第一个方程的对应根大 $5$ ，那么 $k$ 等于：

Given the equations $x^2+kx+6=0$ and $x^2-kx+6=0.$ If, when the roots of the equations are suitably listed, each root of the second equation is $5$ more than the corresponding root of the first equation, then $k$ equals:

$5$

$-5$

$7$

$-7$

以上都不是

none of these

答案：A

知识点：二次方程韦达定理

难度评级：1500

小提示：

比较两组根的和

Compare the sums of the two pairs of roots

大提示：

每个根都增加 $5$ ，会使根的和增加 $10$

Adding $5$ to each root increases their sum by $10$

解答：

第一个方程的两根之和为 $-k$ ，第二个方程的两根之和为 $k$ 。因为两个根都增加了 $5$ ，所以 $k=-k+10$ ，从而 $k=5$ 。

所以正确答案是 A。

The first pair of roots has sum $-k,$ while the second has sum $k.$ Since both roots increase by $5,$ $k=-k+10,$ so $k=5.$

Therefore, the correct answer is A.

15.

一个圆内切于等边三角形，一个正方形内接于该圆。三角形面积与正方形面积之比是：

A circle is inscribed in an equilateral triangle, and a square is inscribed in the circle. The ratio of the area of the triangle to the area of the square is:

$\sqrt3:1$

$\sqrt3:\sqrt2$

$3\sqrt3:2$

$3:\sqrt2$

$3:2\sqrt2$

答案：C

知识点：等边三角形内切圆、内心与内切圆半径正方形（几何）面积比

难度评级：1570

小提示：

用圆的半径 $r$ 表示两个面积

Express both areas using the circle’s radius $r$

大提示：

三角形的边长是 $2\sqrt3r$ ，正方形的对角线长是 $2r$

The triangle’s side is $2\sqrt3r$ and the square’s diagonal is $2r$

解答：

若圆的半径为 $r$ ，则等边三角形的边长为 $2\sqrt3r$ ，面积为 $3\sqrt3r^2$ 。正方形的边长为 $r\sqrt2$ ，面积为 $2r^2$ 。所求比为 $3\sqrt3:2$ 。

所以正确答案是 C。

If the circle has radius $r,$ the equilateral triangle has side $2\sqrt3r$ and area $3\sqrt3r^2.$ The square has side $r\sqrt2$ and area $2r^2.$ The ratio is $3\sqrt3:2.$

Thus, the correct answer is C.

16.

三个非零数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等差数列。把 $a$ 增加 $1$ 或把 $c$ 增加 $2$ ，所得三个数都成等比数列。则 $b$ 等于：

Three numbers $a,$ $b,$ $c,$ none zero, form an arithmetic progression. Increasing $a$ by $1$ or increasing $c$ by $2$ results in a geometric progression. Then $b$ equals:

$16$

$14$

$12$

$10$

$8$

答案：C

知识点：等差数列等比数列方程组

难度评级：1920

小提示：

把三个数列条件写成含有 $b^2$ 和 $a+c$ 的方程

Translate the three progression conditions into equations involving $b^2$ and $a+c$

大提示：

先比较 $(a+1)c=b^2=a(c+2)$

Compare $(a+1)c=b^2=a(c+2)$ first

解答：

这些条件给出 $\begin{gathered} 2b=a+c,\\ b^2=(a+1)c,\qquad b^2=a(c+2) \end{gathered}\text{。}$ 比较后两个等式，得 $c=2a$ 。因此 $b=\frac{3a}{2}$ ，并且 $\frac{9a^2}{4}=2a(a+1)$ 。由于 $a\ne0$ ，得 $a=8$ ，所以 $b=12$ 。

所以正确答案是 C。

The conditions give $\begin{gathered} 2b=a+c,\\ b^2=(a+1)c,\qquad b^2=a(c+2). \end{gathered}$ Comparing the last two yields $c=2a.$ Thus $b=\frac{3a}{2},$ and $\frac{9a^2}{4}=2a(a+1).$ Since $a\ne0,$ $a=8,$ so $b=12.$

Therefore, the correct answer is C.

17.

表达式

$\frac{\dfrac{a}{a+y}+\dfrac{y}{a-y}} {\dfrac{y}{a+y}-\dfrac{a}{a-y}}\text{，}$

其中 $a$ 为实数且 $a\ne0$ ，对于下列哪些取值，表达式的值为 $-1$ ？

The expression

$\frac{\dfrac{a}{a+y}+\dfrac{y}{a-y}} {\dfrac{y}{a+y}-\dfrac{a}{a-y}},$

$a$ real, $a\ne0,$ has the value $-1$ for:

除两个实数值外的所有 $y$

all but two real values of $y$

仅两个实数值的 $y$

only two real values of $y$

所有实数值的 $y$

all real values of $y$

仅一个实数值的 $y$

only one real value of $y$

没有实数值的 $y$

no real values of $y$

答案：A

知识点：分数代数变形

难度评级：1570

小提示：

分别通分化简分子和分母

Combine the two fractions in the numerator and denominator separately

大提示：

注意被排除的值 $y=\pm a$

Keep track of the excluded values $y=\pm a$

解答：

当 $y\ne\pm a$ 时，分子化简为 $\frac{a^2+y^2}{a^2-y^2}$ ，分母恰为它的相反数。因此商为 $-1$ 。当 $y=a$ 或 $y=-a$ 时，原式没有定义。

所以正确答案是 A。

For $y\ne\pm a,$ the numerator simplifies to $\frac{a^2+y^2}{a^2-y^2}$ and the denominator to its negative. Their quotient is therefore $-1.$ The two values $y=a$ and $y=-a$ are undefined.

Thus, the correct answer is A.

18.

弦 $EF$ 是弦 $BC$ 的垂直平分线，并与其交于 $M$ 。在 $B$ 与 $M$ 之间取一点 $U$ ，延长 $EU$ 与圆交于 $A$ 。对于任意如此选取的 $U$ ，三角形 $EUM$ 与下列哪个三角形相似？

Chord $EF$ is the perpendicular bisector of chord $BC,$ intersecting it in $M.$ Between $B$ and $M$ point $U$ is taken, and $EU$ extended meets the circle in $A.$ Then, for any selection of $U,$ as described, triangle $EUM$ is similar to triangle:

$EFA$

$EFC$

$ABM$

$ABU$

$FMC$

答案：A

知识点：弦圆相似

难度评级：1990

小提示：

弦的垂直平分线经过圆心，因此 $EF$ 是直径

Because the perpendicular bisector of a chord passes through the center, $EF$ is a diameter

大提示：

比较直角以及两三角形在 $E$ 点的公共角

Compare the right angles and the shared angle at $E$

解答：

因为 $EF$ 是直径，所以 $\angle EAF=90^\circ$ 。又因为 $EF\perp BC$ ，所以 $\angle EMU=90^\circ$ 。由于 $E,U,A$ 共线，两个三角形在 $E$ 点有同一个锐角。因此 $\triangle EUM\sim\triangle EFA$ 。

所以正确答案是 A。

Since $EF$ is a diameter, $\angle EAF=90^\circ.$ Also $EF\perp BC,$ so $\angle EMU=90^\circ.$ Because $E,U,A$ are collinear, the two triangles share the same acute angle at $E.$ Hence $\triangle EUM\sim\triangle EFA.$

Therefore, the correct answer is A.

19.

清点 $n$ 个彩球，其中一些是红球，另一些是黑球。最先清点的 $50$ 个球中有 $49$ 个红球；此后每清点 $8$ 个球，就有 $7$ 个红球。如果清点的所有球中至少有 $90\%$ 是红球，那么 $n$ 的最大值是：

In counting $n$ colored balls, some red and some black, it was found that $49$ of the first $50$ counted were red. Thereafter, $7$ out of every $8$ counted were red. If, in all, $90\%$ or more of the balls counted were red, the maximum value of $n$ is:

$225$

$210$

$200$

$180$

$175$

答案：B

知识点：百分数不等式速率

难度评级：1640

小提示：

把红球数写成 $49+\frac78(n-50)$

Write the number of red balls as $49+\frac78(n-50)$

大提示：

令这个数量至少为 $0.9n$

Require that quantity to be at least $0.9n$

解答：

条件为 $49+\frac78(n-50)\geq\frac9{10}n\text{。}$ 化简得 $\frac{21}{4}\geq \frac{n}{40}$ ，所以 $n\leq210$ 。最大值为 $210$ 。

所以正确答案是 B。

The condition is $49+\frac78(n-50)\geq\frac9{10}n.$ Simplifying gives $\frac{21}{4}\geq \frac{n}{40},$ so $n\leq210.$ The maximum is $210.$

Thus, the correct answer is B.

20.

$R$ 点与 $S$ 点相距 $76$ 英里。两人分别从这两点同时出发，相向而行。从 $R$ 点出发的人始终以每小时 $4\dfrac12$ 英里的速度行走；从 $S$ 点出发的人第一小时以每小时 $3\dfrac14$ 英里的速度行走，第二小时以每小时 $3\dfrac34$ 英里的速度行走，之后各小时的速度依次成等差数列。若两人在整数小时后相遇，且相遇点到 $R$ 点比到 $S$ 点近 $x$ 英里，则 $x$ 是：

Two men at points $R$ and $S,$ $76$ miles apart, set out at the same time to walk towards each other. The man at $R$ walks uniformly at $4\dfrac12$ miles per hour; the man at $S$ walks at $3\dfrac14$ miles per hour for the first hour, at $3\dfrac34$ miles per hour for the second hour, and so on, in arithmetic progression. If the men meet $x$ miles nearer $R$ than $S$ in an integral number of hours, then $x$ is:

$10$

$8$

$6$

$4$

$2$

答案：D

知识点：等差数列求和路程、速度与时间

难度评级：1920

小提示：

设相遇时间为整数 $h$ 小时，并求第二个人每小时路程的等差数列之和

Let the integral meeting time be $h$ hours and sum the second man’s hourly distances

大提示：

两人路程之和的方程化简为 $h^2+30h-304=0$

Their combined distance equation simplifies to $h^2+30h-304=0$

解答：

在 $h$ 小时内，第一个人走了 $\frac{9h}{2}$ 英里。第二个人走过的路程是等差数列之和 $\begin{aligned} &\frac h2\left(2\cdot\frac{13}{4} +(h-1)\frac12\right)\\ &\qquad=3h+\frac{h^2}{4} \end{aligned}\text{。}$ 两人的路程之和为 $76$ ，得到 $h^2+30h-304=0$ ，其正根为 $h=8$ 。他们分别走了 $36$ 英里和 $40$ 英里，因此相遇点到 $R$ 点比到 $S$ 点近 $4$ 英里。

所以正确答案是 D。

In $h$ hours the first man walks $\frac{9h}{2}.$ The second walks an arithmetic-series total $\begin{aligned} &\frac h2\left(2\cdot\frac{13}{4} +(h-1)\frac12\right)\\ &\qquad=3h+\frac{h^2}{4}. \end{aligned}$ Their distances sum to $76,$ giving $h^2+30h-304=0,$ whose positive root is $h=8.$ They walk $36$ and $40$ miles, so the meeting point is $4$ miles nearer $R$ than $S.$

Thus, the correct answer is D.

21.

表达式 $x^2-y^2-z^2+2yz+x+y-z$ 具有：

The expression $x^2-y^2-z^2+2yz+x+y-z$ has:

没有系数和指数均为整数的一次因式

no linear factor with integer coefficients and integer exponents

因式 $-x+y+z$

the factor $-x+y+z$

因式 $x-y-z+1$

the factor $x-y-z+1$

因式 $x+y-z+1$

the factor $x+y-z+1$

因式 $x-y+z+1$

the factor $x-y+z+1$

答案：E

知识点：平方差因式分解换元法

难度评级：1520

小提示：

把 $y-z$ 看作一个整体

Group $y-z$ as a single expression

大提示：

把多项式改写为 $x^2-(y-z)^2+x+(y-z)$

Rewrite the polynomial as $x^2-(y-z)^2+x+(y-z)$

解答：

令 $u=y-z$ 。两部分可分解为 $\begin{gathered} x^2-u^2=(x+u)(x-u),\\ x+u=(x+u)\cdot1 \end{gathered}\text{。}$ 因此整个表达式是 $(x+u)(x-u+1)$ ，它的一个因式是 $x-y+z+1$ 。

所以正确答案是 E。

Let $u=y-z.$ The two groups factor as $\begin{gathered} x^2-u^2=(x+u)(x-u),\\ x+u=(x+u)\cdot1. \end{gathered}$ Thus the whole expression is $(x+u)(x-u+1),$ and one factor is $x-y+z+1.$

Therefore, the correct answer is E.

22.

锐角三角形 $ABC$ 内接于以 $O$ 为圆心的圆，且 $\overset{\frown}{AB}=120^\circ$ 、 $\overset{\frown}{BC}=72^\circ$ 。取一点 $E$ 于劣弧 $AC$ 上，使 $OE$ 垂直于 $AC$ 。角 $OBE$ 与角 $BAC$ 的度数之比是：

Acute-angled triangle $ABC$ is inscribed in a circle with center at $O;$ $\overset{\frown}{AB}=120^\circ$ and $\overset{\frown}{BC}=72^\circ.$ A point $E$ is taken in minor arc $AC$ such that $OE$ is perpendicular to $AC.$ Then the ratio of the magnitudes of angles $OBE$ and $BAC$ is:

$\dfrac5{18}$

$\dfrac29$

$\dfrac14$

$\dfrac13$

$\dfrac49$

答案：D

知识点：弧圆周角等腰三角形

难度评级：2030

小提示：

先求劣弧 $AC$ 的度数，再利用 $OE\perp AC$ 确定 $E$ 是该弧的中点

Find minor arc $AC,$ then use $OE\perp AC$ to locate $E$ at its midpoint

大提示：

计算圆心角 $BOE$ 和圆周角 $BAC$

Compute the central angle $BOE$ and the inscribed angle $BAC$

解答：

劣弧 $AC$ 的度数为 $360^\circ-120^\circ-72^\circ=168^\circ$ 。因为 $OE\perp AC$ ，所以 $E$ 平分该弧，故 $\angle BOE=72^\circ+84^\circ=156^\circ$ 。等腰三角形 $OBE$ 给出 $\angle OBE=12^\circ$ ，而 $\angle BAC=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ$ 。二者之比为 $\frac{1}{3}$ 。

所以正确答案是 D。

Minor arc $AC$ has measure $360^\circ-120^\circ-72^\circ=168^\circ.$ Since $OE\perp AC,$ $E$ bisects that arc, so $\angle BOE=72^\circ+84^\circ=156^\circ.$ Isosceles triangle $OBE$ gives $\angle OBE=12^\circ,$ while $\angle BAC=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ.$ Their ratio is $\frac{1}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

23.

$A$ 先给 $B$ 与 $B$ 原有钱数相同的美分，再给 $C$ 与 $C$ 原有钱数相同的美分。接着， $B$ 同样分别给 $A$ 和 $C$ 与他们当时各自钱数相同的美分。最后， $C$ 也同样分别给 $A$ 和 $B$ 与他们当时各自钱数相同的美分。如果最终每人都有 $16$ 美分，那么 $A$ 最初有多少美分？

$A$ gives $B$ as many cents as $B$ has and $C$ as many cents as $C$ has. Similarly, $B$ then gives $A$ and $C$ as many cents as each then has. $C$ , similarly, then gives $A$ and $B$ as many cents as each then has. If each finally has $16$ cents, with how many cents does $A$ start?

$24$

$26$

$28$

$30$

$32$

答案：B

知识点：钱币逆推法

难度评级：1780

小提示：

从最终每人的钱数倒推

Work backward from the final holdings

大提示：

某人给钱之前，每位收款人的钱数应为收款后的一半

Immediately before someone gives, each recipient must have half of the amount held just after that gift

解答：

逆向还原这些交易。 $C$ 给钱之前，三人的钱数为 $(8,8,32)$ 。 $B$ 给钱之前，钱数为 $(4,28,16)$ 。 $A$ 给钱之前， $B$ 和 $C$ 必须分别有 $14$ 和 $8$ 美分，而 $A$ 有 $4+14+8=26$ 美分。

所以正确答案是 B。

Reverse the transactions. Before $C$ gives, the holdings are $(8,8,32).$ Before $B$ gives, they are $(4,28,16).$ Before $A$ gives, $B$ and $C$ must have had $14$ and $8,$ while $A$ had $4+14+8=26.$

Therefore, the correct answer is B.

24.

考虑形如 $x^2+bx+c=0$ 的方程。若系数 $b$ 和 $c$ 都从整数集合 $\{1,2,3,4,5,6\}$ 中选取，其中有多少个方程具有实根？

Consider equations of the form $x^2+bx+c=0.$ How many such equations have real roots and have coefficients $b$ and $c$ selected from the set of integers $\{1,2,3,4,5,6\}?$

$20$

$19$

$18$

$17$

$16$

答案：B

知识点：二次方程基本计数不等式

难度评级：1570

小提示：

有实根要求 $b^2\geq4c$

Real roots require $b^2\geq4c$

大提示：

对每个 $c=1,\ldots,6$ ，数出可取的 $b$ 值

For each $c=1,\ldots,6,$ count the allowed values of $b$

解答：

当 $c$ 依次等于 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 和 $6$ 时，条件 $b^2\geq4c$ 相应地允许 $5$ 、 $4$ 、 $3$ 、 $3$ 、 $2$ 和 $2$ 个给定集合中的 $b$ 值。它们的总和为 $5+4+3+3+2+2=19$ 。

所以正确答案是 B。

For $c$ equal to $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ and $6,$ the condition $b^2\geq4c$ permits respectively $5,$ $4,$ $3,$ $3,$ $2,$ and $2$ values of $b$ in the given set. Their sum is $5+4+3+3+2+2=19.$

Thus, the correct answer is B.

25.

在正方形 $ABCD$ 的边 $AD$ 上取一点 $F$ 。过 $C$ 作 $CF$ 的垂线，与 $AB$ 的延长线交于 $E$ 。 $ABCD$ 的面积为 $256$ 平方英寸，三角形 $CEF$ 的面积为 $200$ 平方英寸。则 $BE$ 的长度为多少英寸？

Point $F$ is taken in side $AD$ of square $ABCD.$ At $C$ a perpendicular is drawn to $CF,$ meeting $AB$ extended at $E.$ The area of $ABCD$ is $256$ square inches and the area of triangle $CEF$ is $200$ square inches. Then the number of inches in $BE$ is:

$12$

$14$

$15$

$16$

$20$

答案：A

知识点：正方形（几何）全等（几何）三角形面积勾股定理

难度评级：1900

小提示：

证明直角三角形 $CDF$ 与 $CBE$ 全等

Show that right triangles $CDF$ and $CBE$ are congruent

大提示：

于是 $CF=CE$ ，再利用直角三角形 $CEF$ 的面积

Then $CF=CE,$ so use the area of right triangle $CEF$

解答：

互余的锐角和正方形的等边给出 $\triangle CDF\cong\triangle CBE$ ，从而 $CF=CE$ 。由于 $CF\perp CE$ ， $\begin{aligned} 200=[CEF] &=\frac12 CE\cdot CF\\ &=\frac12CE^2 \end{aligned}\text{，}$ 所以 $CE=20$ 。正方形边长为 $16$ ，在直角三角形 $CBE$ 中， $BE=\sqrt{20^2-16^2}=12$ 。

所以正确答案是 A。

The complementary acute angles and the equal square sides give $\triangle CDF\cong\triangle CBE,$ hence $CF=CE.$ Since $CF\perp CE,$ $\begin{aligned} 200=[CEF] &=\frac12 CE\cdot CF\\ &=\frac12CE^2, \end{aligned}$ so $CE=20.$ The square side is $16,$ and right triangle $CBE$ gives $BE=\sqrt{20^2-16^2}=12.$

Therefore, the correct answer is A.

26.

形式 I。考虑以下命题：

$\begin{aligned} (1)\quad&p\land\neg q\land r,\\ (2)\quad&\neg p\land\neg q\land r,\\ (3)\quad&p\land\neg q\land\neg r,\\ (4)\quad&\neg p\land q\land r \end{aligned}\text{，}$

其中 $p$ 、 $q$ 、 $r$ 是命题。以上有多少个能推出 $(p\to q)\to r$ 为真？

形式 II。考虑以下命题： $(1)$ $p$ 和 $r$ 为真且 $q$ 为假； $(2)$ $r$ 为真且 $p$ 和 $q$ 为假； $(3)$ $p$ 为真且 $q$ 和 $r$ 为假； $(4)$ $q$ 和 $r$ 为真且 $p$ 为假。以上有多少个能推出命题“ $r$ 可由‘ $p$ 蕴含 $q$ ’推出”为真？

Form I. Consider the statements

$\begin{aligned} (1)\quad&p\land\neg q\land r,\\ (2)\quad&\neg p\land\neg q\land r,\\ (3)\quad&p\land\neg q\land\neg r,\\ (4)\quad&\neg p\land q\land r, \end{aligned}$

where $p,$ $q,$ $r$ are propositions. How many of these imply the truth of $(p\to q)\to r?$

Form II. Consider the statements $(1)$ $p$ and $r$ are true and $q$ is false, $(2)$ $r$ is true and $p$ and $q$ are false, $(3)$ $p$ is true and $q$ and $r$ are false, $(4)$ $q$ and $r$ are true and $p$ is false. How many of these imply the truth of the statement “ $r$ is implied by the statement that $p$ implies $q$ ”?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：E

知识点：逻辑推理

难度评级：1880

小提示：

只有当前件为真而后件为假时，蕴含命题才为假

An implication is false only when its antecedent is true and its consequent is false

大提示：

在四种真值指派中先分别计算 $p\to q$

Evaluate $p\to q$ first in each of the four assignments

解答：

在情形 $(1)$ 和 $(3)$ 中， $p\to q$ 为假，所以外层蕴含为真。在情形 $(2)$ 和 $(4)$ 中， $p\to q$ 为真，而 $r$ 也为真，所以外层蕴含仍为真。因此四个命题都能推出它。

所以正确答案是 E。

In cases $(1)$ and $(3),$ $p\to q$ is false, so the outer implication is true. In cases $(2)$ and $(4),$ $p\to q$ is true, but $r$ is also true, so the outer implication is again true. All four statements imply it.

Thus, the correct answer is E.

27.

在平面上画六条直线，其中任意两条都不平行，任意三条都不共点。它们把平面分成的区域数是：

Six straight lines are drawn in a plane with no two parallel and no three concurrent. The number of regions into which they divide the plane is:

$16$

$20$

$22$

$24$

$26$

答案：C

知识点：区域计数交点计数求和

难度评级：1520

小提示：

第 $k$ 条直线被前面的直线截成 $k$ 段

The $k$ th line is cut into $k$ pieces by the previous lines

大提示：

从一个区域开始，再加上 $1+2+\cdots+6$

Start with one region and add $1+2+\cdots+6$

解答：

依次画出的直线分别新增 $1,2,\ldots,6$ 个区域。因此区域总数为 $1+\sum_{k=1}^{6}k=1+21=22\text{。}$

所以正确答案是 C。

Successive lines create $1,2,\ldots,6$ new regions. Thus the total is $1+\sum_{k=1}^{6}k=1+21=22.$

Therefore, the correct answer is C.

28.

已知方程 $3x^2-4x+k=0$ 有实根。使该方程两根之积最大的 $k$ 值是：

Given the equation $3x^2-4x+k=0$ with real roots. The value of $k$ for which the product of the roots of the equation is a maximum is:

$\dfrac{16}{9}$

$\dfrac{16}{3}$

$\dfrac49$

$\dfrac43$

$-\dfrac43$

答案：D

知识点：二次方程韦达定理最优化

难度评级：1210

小提示：

两根之积为 $\frac{k}{3}$

The product of the roots is $\frac{k}{3}$

大提示：

利用判别式条件求出 $k$ 的最大允许值

Use the discriminant condition to find the largest allowed $k$

解答：

有实根要求 $16-12k\geq0$ ，所以 $k\leq\frac{4}{3}$ 。两根之积为 $\frac{k}{3}$ ，它随 $k$ 增大。因此在 $k=\frac{4}{3}$ 时达到最大。

所以正确答案是 D。

Real roots require $16-12k\geq0,$ so $k\leq\frac{4}{3}.$ The root product is $\frac{k}{3},$ which increases with $k.$ It is therefore largest at $k=\frac{4}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

29.

一个竖直向上发射的质点在 $t$ 秒末到达 $s$ 英尺的高度，其中 $s=160t-16t^2$ 。它能达到的最大高度是：

A particle projected vertically upward reaches, at the end of $t$ seconds, an elevation of $s$ feet where $s=160t-16t^2.$ The highest elevation is:

$800$

$640$

$400$

$320$

$160$

答案：C

知识点：二次方程最优化

难度评级：1320

小提示：

高度是开口向下的二次函数

The height is a downward-opening quadratic

大提示：

利用 $-\frac{b}{2a}$ 求顶点对应的时刻

Find its vertex time using $-\frac{b}{2a}$

解答：

顶点对应的时刻为 $t=-\frac{160}{2\cdot-16}=5$ 。此时 $s(5)=160(5)-16(25)=400\text{。}$

所以正确答案是 C。

The vertex occurs at $t=-\frac{160}{2\cdot-16}=5.$ Then $s(5)=160(5)-16(25)=400.$

Thus, the correct answer is C.

30.

设

$F=\log\frac{1+x}{1-x}\text{。}$

求新函数 $G$ ：把 $x$ 在 $F$ 中的每一次出现都替换为

$\frac{3x+x^3}{1+3x^2}\text{，}$

并化简。化简后的 $G$ 等于：

Let

$F=\log\frac{1+x}{1-x}.$

Form a new function $G$ by replacing each $x$ in $F$ by

$\frac{3x+x^3}{1+3x^2},$

and simplify. The simplified expression $G$ is equal to:

$-F$

$F$

$3F$

$F^3$

$F^3-F$

答案：C

知识点：对数因式分解代数变形

难度评级：2020

小提示：

把代入的分式记为 $u$ ，并化简 $\frac{1+u}{1-u}$

Call the substituted fraction $u$ and simplify $\frac{1+u}{1-u}$

大提示：

它的分子和分母都可分解为立方

Its numerator and denominator factor as cubes

解答：

令 $u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2}$ ，则 $\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x+3x^2+x^3} {1-3x+3x^2-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $G=\log(\frac{1+x}{1-x})^3$ ，所以 $G=3F$ 。

所以正确答案是 C。

For $u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2},$ $\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x+3x^2+x^3} {1-3x+3x^2-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3. \end{aligned}$ Therefore $G=\log(\frac{1+x}{1-x})^3,$ so $G=3F.$

Thus, the correct answer is C.

31.

方程 $2x+3y=763$ 的正整数解共有：

The number of solutions in positive integers of $2x+3y=763$ is:

$255$

$254$

$128$

$127$

$0$

答案：D

知识点：丢番图方程奇偶性区间内整数计数

难度评级：1710

小提示：

解出 $x=\frac{763-3y}{2}$

Solve for $x=\frac{763-3y}{2}$

大提示：

要使 $x$ 为正整数， $y$ 必须是小于 $\frac{763}{3}$ 的正奇数

Positive integral $x$ requires $y$ to be an odd positive integer below $\frac{763}{3}$

解答：

$y$ 必须为奇数，才能使 $763-3y$ 为偶数；正数条件给出 $1\leq y\leq253$ 。奇数 $1$ 、 $3$ 、 $\ldots$ 和 $253$ 共有 $\frac{253+1}{2}=127$ 个。

所以正确答案是 D。

We need $y$ odd so that $763-3y$ is even, and positivity gives $1\leq y\leq253.$ The odd values $1,$ $3,$ $\ldots,$ and $253$ number $\frac{253+1}{2}=127.$

Therefore, the correct answer is D.

32.

矩形 $R$ 的边长为 $a$ 和 $b$ ，其中 $a\lt b$ 。现要得到一个边长为 $x$ 和 $y$ 的矩形，其中 $x\lt a$ 、 $y\lt a$ ，使它的周长是 $R$ 的三分之一，面积也是 $R$ 的三分之一。这样的不同矩形共有：

The dimensions of a rectangle $R$ are $a$ and $b,$ $a\lt b.$ It is required to obtain a rectangle with dimensions $x$ and $y,$ $x\lt a,$ $y\lt a,$ so that its perimeter is one-third that of $R,$ and its area is one-third that of $R.$ The number of such (different) rectangles is:

$0$

$1$

$2$

$4$

无穷多个

infinitely many

答案：A

知识点：矩形不等式代数变形

难度评级：1990

小提示：

把条件写成 $3(x+y)=a+b$ 和 $3xy=ab$

Translate the conditions into $3(x+y)=a+b$ and $3xy=ab$

大提示：

用和式除以积式，再利用 $x\lt a$ 、 $y\lt a$ 和 $a\lt b$ 比较倒数

Divide the sum equation by the product equation and compare reciprocals using $x\lt a,$ $y\lt a,$ and $a\lt b$

解答：

这些条件给出 $3(x+y)=a+b$ 和 $3xy=ab$ 。相除得到 $\frac1x+\frac1y=\frac1a+\frac1b\text{。}$ 但是 $x\lt a$ 且 $y\lt a$ 使左边大于 $\frac{2}{a}$ ，而 $a\lt b$ 使右边小于 $\frac{2}{a}$ 。这不可能成立。

所以正确答案是 A。

The conditions give $3(x+y)=a+b$ and $3xy=ab.$ Dividing yields $\frac1x+\frac1y=\frac1a+\frac1b.$ But $x\lt a$ and $y\lt a$ make the left side greater than $\frac{2}{a},$ while $a\lt b$ makes the right side less than $\frac{2}{a}.$ This is impossible.

Thus, the correct answer is A.

33.

已知直线 $y=\dfrac34x+6$ ，另有直线 $L$ 与它平行且相距 $4$ 个单位。下列哪一个可能是 $L$ 的方程？

Given the line $y=\dfrac34x+6$ and a line $L$ parallel to the given line and $4$ units from it. A possible equation for $L$ is:

$y=\dfrac34x+1$

$y=\dfrac34x$

$y=\dfrac34x-\dfrac23$

$y=\dfrac34x-1$

$y=\dfrac34x+2$

答案：A

知识点：平行线距离公式斜率

难度评级：1750

小提示：

把平行直线写成 $3x-4y+c=0$ 的形式

Write parallel lines as $3x-4y+c=0$

大提示：

两直线间的距离等于常数项之差的绝对值除以 $5$

The distance equals the absolute difference of constants divided by $5$

解答：

已知直线可写成 $3x-4y+24=0$ 。平行直线 $y=\frac{3x}{4}+b$ 可写成 $3x-4y+4b=0$ ，所以两直线间的距离为 $\frac{|24-4b|}{5}$ 。令它等于 $4$ ，得到 $|6-b|=5$ ，从而 $b=1$ 或 $11$ 。选项 A 是可能的。

所以正确答案是 A。

The given line is $3x-4y+24=0.$ A parallel line $y=\frac{3x}{4}+b$ is $3x-4y+4b=0,$ so the distance is $\frac{|24-4b|}{5}.$ Setting this equal to $4$ gives $|6-b|=5,$ hence $b=1$ or $11.$ Choice A is possible.

Thus, the correct answer is A.

34.

在三角形 $ABC$ 中，边 $a=\sqrt3$ ，边 $b=\sqrt3$ ，且边 $c\gt3$ 。设 $x$ 是满足“边 $c$ 所对角的度数必大于 $x$ ”的最大数，则 $x$ 等于：

In triangle $ABC,$ side $a=\sqrt3,$ side $b=\sqrt3,$ and side $c\gt3.$ Let $x$ be the largest number such that the magnitude, in degrees, of the angle opposite side $c$ exceeds $x.$ Then $x$ equals:

$150$

$120$

$105$

$90$

$60$

答案：B

知识点：余弦定理不等式极限情形界定

难度评级：1920

小提示：

对边 $c$ 所对的角 $C$ 使用余弦定理

Use the law of cosines for the angle $C$ opposite $c$

大提示：

把 $c\gt3$ 与极限情形 $c=3$ 比较

Compare $c\gt3$ with the limiting case $c=3$

解答：

余弦定理给出 $\cos C=\frac{3+3-c^2}{2\sqrt3\sqrt3}=\frac{6-c^2}{6}\text{。}$ 因为 $c\gt3$ ，所以 $\cos C\lt-\frac{1}{2}$ ，从而 $C\gt120^\circ$ 。角度可以趋近 $120^\circ$ ，只要 $c$ 从右侧趋近 $3$ ，所以能保证的最大下界是 $120$ 。

所以正确答案是 B。

The law of cosines gives $\cos C=\frac{3+3-c^2}{2\sqrt3\sqrt3}=\frac{6-c^2}{6}.$ Since $c\gt3,$ $\cos C\lt-\frac{1}{2},$ so $C\gt120^\circ.$ Values can approach $120^\circ$ as $c$ approaches $3$ from above, so the largest guaranteed bound is $120.$

Therefore, the correct answer is B.

35.

一个三角形的三边长都是整数，面积也是整数。其中一边长为 $21$ ，周长为 $48$ 。最短边的长度是：

The lengths of the sides of a triangle are integers, and its area is also an integer. One side is $21$ and the perimeter is $48.$ The shortest side is:

$8$

$10$

$12$

$14$

$16$

答案：B

知识点：海伦公式分类讨论三角不等式

难度评级：2100

小提示：

把另外两边写成 $x$ 和 $27-x$ ，半周长为 $24$

Write the other sides as $x$ and $27-x$ , with semiperimeter $24$

大提示：

海伦公式给出面积平方为 $72(24-x)(x-3)$

Heron’s formula makes the squared area $72(24-x)(x-3)$

解答：

设另外两边为 $x$ 和 $27-x$ ，并令 $x\leq27-x$ 。半周长是 $24$ ，所以海伦公式给出 $\begin{aligned} K^2 &=24\cdot3(24-x)(x-3)\\ &=72(24-x)(x-3) \end{aligned}\text{。}$ 三角形不等式给出 $4\leq x\leq13$ 。逐一检查这些整数，当 $x=4,\ldots,9$ 时该表达式都不是完全平方数；当 $x=10$ 时，它等于 $72\cdot14\cdot7=7056=84^2$ 。因此最短边长为 $10$ 。

所以正确答案是 B。

Let the other sides be $x$ and $27-x,$ with $x\leq27-x.$ The semiperimeter is $24,$ so Heron’s formula gives $\begin{aligned} K^2 &=24\cdot3(24-x)(x-3)\\ &=72(24-x)(x-3). \end{aligned}$ The triangle inequalities give $4\leq x\leq13.$ Checking these integers, the expression is not a square for $x=4,\ldots,9,$ while at $x=10$ it is $72\cdot14\cdot7=7056=84^2.$ Thus the shortest side is $10.$

Therefore, the correct answer is B.

36.

某人起初有 $64$ 美分，共下注 $6$ 次，赢三次、输三次，输赢的次序随机，每次获胜和失败的概率相同。每次下注金额都是下注时剩余钱数的一半，则最终结果是：

A person starting with $64$ cents and making $6$ bets, wins three times and loses three times, the wins and losses occurring in random order. The chance for a win is equal to the chance for a loss. If each wager is for half the money remaining at the time of the bet, then the final result is:

损失 $27$ 美分

a loss of $27$ ¢

获利 $27$ 美分

a gain of $27$ ¢

损失 $37$ 美分

a loss of $37$ ¢

既没有获利也没有损失

neither a gain nor a loss

获利或损失取决于输赢的次序

a gain or a loss depending upon the order in which the wins and losses occur

答案：C

知识点：指数过程模拟

难度评级：1470

小提示：

赢一次会把现有钱数乘以 $\frac{3}{2}$ ，输一次会把它乘以 $\frac{1}{2}$

A win multiplies the current amount by $\frac{3}{2}$ , while a loss multiplies it by $\frac{1}{2}$

大提示：

乘法交换律说明次序无关紧要

Multiplication makes the order irrelevant

解答：

三胜三负之后，剩余钱数（单位：美分）为 $\begin{aligned} 64\left(\frac32\right)^3 \left(\frac12\right)^3 &=64\cdot\frac{27}{64}\\ &=27 \end{aligned}\text{。}$ 因此无论次序如何，损失都是 $64-27=37$ 美分。

所以正确答案是 C。

After three wins and three losses, the amount, in cents, is $\begin{aligned} 64\left(\frac32\right)^3 \left(\frac12\right)^3 &=64\cdot\frac{27}{64}\\ &=27. \end{aligned}$ The loss is $64-27=37$ cents, regardless of order.

Thus, the correct answer is C.

37.

直线上的点 $P_1$ 、 $P_2$ 、 $\ldots$ 、 $P_7$ 按此顺序排列，但间距不一定相等。在该直线上任取一点 $P$ ，令 $s$ 为以下无向线段长度之和：

$PP_1,\ PP_2,\ \ldots,\ PP_7\text{。}$

则 $s$ 取得最小值的充要条件是点 $P$ 位于：

Given points $P_1,$ $P_2,$ $\ldots,$ $P_7$ on a straight line, in the order stated (not necessarily evenly spaced). Let $P$ be an arbitrarily selected point on the line and let $s$ be the sum of the undirected lengths

$PP_1,\ PP_2,\ \ldots,\ PP_7.$

Then $s$ is smallest if and only if the point $P$ is:

$P_1$ 与 $P_7$ 的中点

midway between $P_1$ and $P_7$

$P_2$ 与 $P_6$ 的中点

midway between $P_2$ and $P_6$

$P_3$ 与 $P_5$ 的中点

midway between $P_3$ and $P_5$

$P_4$ 处

at $P_4$

$P_1$ 处

at $P_1$

答案：D

知识点：最优化配对与分组

难度评级：1640

小提示：

先把到 $P_1,P_7$ 的距离配对，再依次配对 $P_2,P_6$ 和 $P_3,P_5$

Pair the distances to $P_1,P_7$ , then $P_2,P_6$ , then $P_3,P_5$

大提示：

每对距离之和在两点间的整段上都最小，剩余的中间点会确定唯一位置

Each paired sum is minimized throughout its intervening segment; the unpaired middle point selects one location

解答：

对任意一对 $P_i,P_{8-i}$ ，距离之和 $PP_i+PP_{8-i}$ 在 $P$ 位于它们之间时最小。这三个区间都包含 $P_4$ 。剩余的一项 $PP_4$ 仅在 $P=P_4$ 时达到最小。

所以正确答案是 D。

For any pair $P_i,P_{8-i},$ the sum $PP_i+PP_{8-i}$ is minimized when $P$ lies between them. The three such intervals all contain $P_4.$ The remaining term $PP_4$ is uniquely minimized at $P=P_4.$

Thus, the correct answer is D.

38.

点 $F$ 位于平行四边形 $ABCD$ 的边 $AD$ 的延长线上。 $BF$ 与对角线 $AC$ 交于 $E$ ，与边 $DC$ 交于 $G$ 。若 $EF=32$ 且 $GF=24$ ，则 $BE$ 等于：

Point $F$ is taken on the extension of side $AD$ of parallelogram $ABCD.$ $BF$ intersects diagonal $AC$ at $E$ and side $DC$ at $G.$ If $EF=32$ and $GF=24,$ then $BE$ equals:

$4$

$8$

$10$

$12$

$16$

答案：E

知识点：平行四边形向量比与比例

难度评级：2150

小提示：

用各点从 $F$ 到 $B$ 所走距离的比例来参数化 $FB$ 上的点

Parameterize points on $FB$ by their fraction of the distance from $F$ to $B$

大提示：

若 $F=tD$ ，在以 $A$ 为原点的仿射坐标中， $G$ 和 $E$ 的参数分别为 $\frac{t-1}{t}$ 和 $\frac{t}{t+1}$

If $F=tD$ in affine coordinates based at $A,$ the parameters of $G$ and $E$ are $\frac{t-1}{t}$ and $\frac{t}{t+1}$

解答：

取仿射坐标 $A=0$ 、 $B=u$ 、 $D=v$ 、 $C=u+v$ ，以及 $F=tv$ 。 $FB$ 上一点可写为 $su+t(1-s)v$ 。与 $DC$ 相交得到 $s_G=\frac{t-1}{t}$ ，与 $AC$ 相交得到 $s_E=\frac{t}{t+1}$ 。因此 $\begin{aligned} \frac{GF}{EF} &=\frac{s_G}{s_E} =\frac{t^2-1}{t^2}\\ &=\frac{24}{32}=\frac34 \end{aligned}\text{，}$ 所以 $t=2$ ，且 $s_E=\frac{2}{3}$ 。于是 $EF=(\frac{2}{3})FB=32$ ，从而 $FB=48$ ， $BE=16$ 。

所以正确答案是 E。

Use affine coordinates $A=0,$ $B=u,$ $D=v,$ $C=u+v,$ and $F=tv.$ A point on $FB$ is $su+t(1-s)v.$ Intersecting $DC$ gives $s_G=\frac{t-1}{t},$ while intersecting $AC$ gives $s_E=\frac{t}{t+1}.$ Therefore $\begin{aligned} \frac{GF}{EF} &=\frac{s_G}{s_E} =\frac{t^2-1}{t^2}\\ &=\frac{24}{32}=\frac34, \end{aligned}$ so $t=2$ and $s_E=\frac{2}{3}.$ Thus $EF=(\frac{2}{3})FB=32,$ making $FB=48$ and $BE=16.$

Therefore, the correct answer is E.

39.

在三角形 $ABC$ 中，作线段 $CE$ 和 $AD$ ，使 $\dfrac{CD}{DB}=\dfrac31$ 且 $\dfrac{AE}{EB}=\dfrac32$ 。

设 $r=\dfrac{CP}{PE}$ ，其中 $P$ 是 $CE$ 与 $AD$ 的交点。则 $r$ 等于：

In triangle $ABC$ lines $CE$ and $AD$ are drawn so that $\dfrac{CD}{DB}=\dfrac31$ and $\dfrac{AE}{EB}=\dfrac32.$

Let $r=\dfrac{CP}{PE},$ where $P$ is the intersection point of $CE$ and $AD.$ Then $r$ equals:

$3$

$\dfrac32$

$4$

$5$

$\dfrac52$

答案：D

知识点：质点法比与比例

难度评级：2030

小提示：

按所给边长比的倒数为端点分配质量

Assign endpoint masses inversely proportional to the given side ratios

大提示：

取质量 $m_A=2$ 、 $m_B=3$ 和 $m_C=1$ ，再求 $E$ 点的质量

Choose masses $m_A=2,$ $m_B=3,$ and $m_C=1$ , then find the mass at $E$

解答：

比 $AE:EB=3:2$ 对应质量 $m_A=2$ 和 $m_B=3$ 。比 $CD:DB=3:1$ 随即给出 $m_C=1$ 。点 $E$ 的质量为 $m_A+m_B=5$ ，所以在塞瓦线 $CE$ 上， $\frac{CP}{PE}=\frac{m_E}{m_C}=\frac51=5\text{。}$

所以正确答案是 D。

The ratio $AE:EB=3:2$ is represented by masses $m_A=2$ and $m_B=3.$ The ratio $CD:DB=3:1$ then gives $m_C=1.$ Point $E$ has mass $m_A+m_B=5,$ so along cevian $CE,$ $\frac{CP}{PE}=\frac{m_E}{m_C}=\frac51=5.$

Thus, the correct answer is D.

40.

若数 $x$ 满足方程 $\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3$ ，则 $x^2$ 介于：

If $x$ is a number satisfying the equation $\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3,$ then $x^2$ is between:

$55$ 与 $65$ 之间

$55$ and $65$

$65$ 与 $75$ 之间

$65$ and $75$

$75$ 与 $85$ 之间

$75$ and $85$

$85$ 与 $95$ 之间

$85$ and $95$

$95$ 与 $105$ 之间

$95$ and $105$

答案：C

知识点：根式立方和与立方差对称性（代数）

难度评级：2290

小提示：

令 $u=\sqrt[3]{x+9}$ 且 $v=\sqrt[3]{x-9}$

Set $u=\sqrt[3]{x+9}$ and $v=\sqrt[3]{x-9}$

大提示：

同时利用 $u-v=3$ 和 $u^3-v^3=18$ 求 $uv$

Use both $u-v=3$ and $u^3-v^3=18$ to find $uv$

解答：

令 $u=\sqrt[3]{x+9}$ ， $v=\sqrt[3]{x-9}$ 。则 $u-v=3$ ，并且 $\begin{aligned} 18&=u^3-v^3\\ &=(u-v)(u^2+uv+v^2) \end{aligned}\text{，}$ 所以 $u^2+uv+v^2=6$ 。与 $(u-v)^2=9$ 比较，得 $uv=-1$ 。因此 $(u+v)^2=5$ 。对 $2u=3\pm\sqrt5$ 两边取立方，得到 $x=\pm4\sqrt5$ ；无论哪种情形， $x^2=80$ ，介于 $75$ 与 $85$ 之间。

所以正确答案是 C。

Let $u=\sqrt[3]{x+9}$ and $v=\sqrt[3]{x-9}.$ Then $u-v=3$ and $\begin{aligned} 18&=u^3-v^3\\ &=(u-v)(u^2+uv+v^2), \end{aligned}$ so $u^2+uv+v^2=6.$ Comparing with $(u-v)^2=9$ gives $uv=-1.$ Hence $(u+v)^2=5.$ Cubing $2u=3\pm\sqrt5$ gives $x=\pm4\sqrt5,$ and either way $x^2=80,$ between $75$ and $85.$

Therefore, the correct answer is C.