Question

三个非零数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等差数列。把 $a$ 增加 $1$ 或把 $c$ 增加 $2$ ，所得三个数都成等比数列。则 $b$ 等于：

Three numbers $a,$ $b,$ $c,$ none zero, form an arithmetic progression. Increasing $a$ by $1$ or increasing $c$ by $2$ results in a geometric progression. Then $b$ equals:

$16$

$14$

$12$

$10$

$8$

答案：C

知识点：等差数列等比数列方程组

难度评级：1920

小提示：

把三个数列条件写成含有 $b^2$ 和 $a+c$ 的方程

Translate the three progression conditions into equations involving $b^2$ and $a+c$

大提示：

先比较 $(a+1)c=b^2=a(c+2)$

Compare $(a+1)c=b^2=a(c+2)$ first

解答：

这些条件给出 $\begin{gathered} 2b=a+c,\\ b^2=(a+1)c,\qquad b^2=a(c+2) \end{gathered}\text{。}$ 比较后两个等式，得 $c=2a$ 。因此 $b=\frac{3a}{2}$ ，并且 $\frac{9a^2}{4}=2a(a+1)$ 。由于 $a\ne0$ ，得 $a=8$ ，所以 $b=12$ 。

所以正确答案是 C。

The conditions give $\begin{gathered} 2b=a+c,\\ b^2=(a+1)c,\qquad b^2=a(c+2). \end{gathered}$ Comparing the last two yields $c=2a.$ Thus $b=\frac{3a}{2},$ and $\frac{9a^2}{4}=2a(a+1).$ Since $a\ne0,$ $a=8,$ so $b=12.$

Therefore, the correct answer is C.

1963 AMC 12 第 16 题

答案：C

难度评级：1920

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题