Question

设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为正整数，满足 $a + b + c = 23$ 且 $\begin{aligned} &\gcd(a, b) + \gcd(b, c) \\ &\quad {}+ \gcd(c, a) = 9\text{。} \end{aligned}$ 所有可能的不同 $a^2 + b^2 + c^2$ 值之和是多少？

Suppose $a,$ $b,$ $c$ are positive integers such that $a + b + c = 23$ and $\begin{aligned} &\gcd(a, b) + \gcd(b, c) \\ &\quad {}+ \gcd(c, a) = 9. \end{aligned}$ What is the sum of all possible distinct values of $a^2 + b^2 + c^2?$

$259$

$438$

$516$

$625$

$687$

答案：B

知识点：最大公约数奇偶性分类讨论

难度评级：2100

小提示：

由对称性可设 $a\le b\le c$ ；那么 $a\le7$ ，并且 $c=23-a-b$

By symmetry assume $a\le b\le c;$ then $a\le7$ and $c=23-a-b$

大提示：

利用 $\gcd(b,c)=\gcd(b,23-a)$ ，并检查不长的范围 $a\le b\le\frac{23-a}{2}$

Use $\gcd(b,c)=\gcd(b,23-a)$ and check the short range $a\le b\le\frac{23-a}{2}$

解答：

条件是对称的，所以不妨设 $a\le b\le c$ 。于是 $a\le7$ ，且对每个固定的 $a$ ，有 $a\le b\le\lfloor\frac{23-a}{2}\rfloor$ 以及 $c=23-a-b$ 。最大公因数之和可以写成 $\begin{aligned} &\gcd(a,b)+\gcd(b,23-a) \\ &\quad {}+\gcd(a,23-b) \end{aligned}\text{。}$

逐一检查这些不长的范围， $a=1,2,\ldots,7$ 时可能的最大公因数之和分别是 $\{3,4,13\}$ 、 $\{4,6,10\}$ 、 $\{3,5,6,8,9,12\}$ 、 $\{4,6\}$ 、 $\{3,7,8,11\}$ 、 $\{4,6,8\}$ 和 $\{9,10\}$ 。取值 $9$ 只在 $(a,b,c)=(3,5,15)$ 和 $(7,7,9)$ 处出现。

三元组 $(7, 7, 9)$ 的 $\gcd$ 之和为 $7 + 1 + 1 = 9$ ，并且 $a^2 + b^2 + c^2 = 49 + 49 + 81$ $= 179$ 。三元组 $(3, 5, 15)$ 的 $\gcd$ 之和为 $1 + 5 + 3 = 9$ ，并且 $a^2 + b^2 + c^2 = 9 + 25$ $+ 225 = 259$ 。

不同值之和为 $179 + 259 = 438$ 。

所以正确答案是 B。

The condition is symmetric, so assume $a\le b\le c.$ Then $a\le7,$ and for each fixed $a$ we have $a\le b\le\lfloor\frac{23-a}{2}\rfloor$ and $c=23-a-b.$ The gcd sum can be evaluated as $\begin{aligned} &\gcd(a,b)+\gcd(b,23-a) \\ &\quad {}+\gcd(a,23-b). \end{aligned}$

Checking these short ranges, the possible gcd sums for $a=1,2,\ldots,7$ are, respectively, $\{3,4,13\},$ $\{4,6,10\},$ $\{3,5,6,8,9,12\},$ $\{4,6\},$ $\{3,7,8,11\},$ $\{4,6,8\},$ and $\{9,10\}.$ The value $9$ occurs only at $(a,b,c)=(3,5,15)$ and $(7,7,9).$

The triple $(7, 7, 9)$ has $\gcd$ sum $7 + 1 + 1 = 9$ and $a^2 + b^2 + c^2 = 49 + 49 + 81$ $= 179.$ The triple $(3, 5, 15)$ has $\gcd$ sum $1 + 5 + 3 = 9$ and $a^2 + b^2 + c^2 = 9 + 25$ $+ 225 = 259.$

The sum of the distinct values is $179 + 259 = 438.$

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12B Fall 第 16 题

答案：B

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

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