Question

将 $y=\log_3 x$ 、 $y=\log_x 3$ 、 $y=\log_{\frac{1}{3}} x$ 以及 $y=\log_x\dfrac{1}{3}$ 的图像画在同一坐标系中。平面上有多少个 $x$ 坐标为正的点位于两条或更多条图像上？

The graphs of $y=\log_3 x,$ $y=\log_x 3,$ $y=\log_{\frac{1}{3}} x,$ and $y=\log_x\dfrac{1}{3}$ are plotted on the same set of axes. How many points in the plane with positive $x$ -coordinates lie on two or more of the graphs?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

答案：D

知识点：对数换元法

难度评级：1860

小提示：

令 $u=\log_3 x$ ，把四个函数值改写为 $u,\ \dfrac1u,\ -u,\ -\dfrac1u$ 。

Let $u=\log_3 x$ and rewrite all four as $u,\ \dfrac1u,\ -u,\ -\dfrac1u$

大提示：

找出哪些 $x$ 会让这四个表达式中任意两个相等。

Find every $x$ where two of these four expressions are equal

解答：

令 $u=\log_3 x$ ，则 $\log_x 3=\dfrac1u$ ， $\log_{\frac{1}{3}}x=-u$ ，且 $\log_x\dfrac13=-\dfrac1u$ 。两条图像相交时， $u,\dfrac1u,-u,-\dfrac1u$ 中有两个相等，并且对应的 $x\gt 0$ 有效。

令 $u=\dfrac1u$ 得 $u=\pm1$ ，所以 $x=3$ 或 $x=\dfrac13$ ；令 $-u=-\dfrac1u$ 得到同样的值。令 $u=-u$ 得 $u=0$ ，即 $x=1$ ，此时 $\log_3 x$ 与 $\log_{\frac{1}{3}}x$ 都等于 $0$ 。其余配对没有实数解。

不同交点为 $(1,0)$ 、 $(3,1)$ 、 $\left(\dfrac13,-1\right)$ 、 $(3,-1)$ 和 $\left(\dfrac13,1\right)$ ，所以共有 $5$ 个。

所以正确答案是 D。

Let $u=\log_3 x.$ Then $\log_x 3=\dfrac1u,$ $\log_{\frac{1}{3}}x=-u,$ and $\log_x\dfrac13=-\dfrac1u.$ Two graphs meet where two of $u,\dfrac1u,-u,-\dfrac1u$ are equal for some valid $x\gt 0.$

Setting $u=\dfrac1u$ gives $u=\pm1,$ so $x=3$ or $x=\dfrac13;$ setting $-u=-\dfrac1u$ gives the same values. Setting $u=-u$ gives $u=0,$ i.e. $x=1,$ where $\log_3 x$ and $\log_{\frac{1}{3}}x$ are both $0.$ The remaining pairings have no real solution.

The distinct intersection points are $(1,0),$ $(3,1),$ $\left(\dfrac13,-1\right),$ $(3,-1),$ and $\left(\dfrac13,1\right),$ so there are $5.$

Thus, the correct answer is D.

2016 AMC 12A 第 16 题

答案：D

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题