Question

在 $\triangle ABC$ 中， $AB=8$ 、 $BC=7$ 、 $CA=6$ 。如图，将边 $BC$ 延长到点 $P$ ，使得 $\triangle PAB$ 与 $\triangle PCA$ 相似。 $PC$ 的长度为

In $\triangle ABC,$ $AB=8,$ $BC=7,$ $CA=6$ and side $BC$ is extended, as shown in the figure, to a point $P$ so that $\triangle PAB$ is similar to $\triangle PCA.$ The length of $PC$ is

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

答案：C

知识点：similar triangles proportion segment addition

难度评级：1610

小提示：

按照 $\triangle PAB\sim\triangle PCA$ 中顶点的顺序配对对应边

Use the vertex order in $\triangle PAB\sim\triangle PCA$ to match corresponding sides

大提示：

令 $PC=t$ ，同时利用 $PB=PC+7$ 和连续的相似比

Set $PC=t$ and use both $PB=PC+7$ and the repeated similarity ratio

解答：

题目给出的相似顺序说明 $\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}=\frac{AB}{CA}=\frac43\text{。}$ 令 $PC=t$ 。则 $PA=\frac{4t}{3}$ ，且 $PB=\frac{16t}{9}$ 。由于 $PB=PC+CB=t+7$ ， $\frac{16t}{9}=t+7\text{，}$ 解得 $t=9$ 。

所以正确答案是 C。

The stated order of similarity gives $\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}=\frac{AB}{CA}=\frac43.$ Let $PC=t.$ Then $PA=\frac{4t}{3}$ and $PB=\frac{16t}{9}.$ Since $PB=PC+CB=t+7,$ $\frac{16t}{9}=t+7,$ which gives $t=9.$

Thus the correct answer is C.

1986 AMC 12 第 16 题

答案：C

难度评级：1610

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题