Question

一个无穷等比级数的首项为正整数，公比为正整数的倒数，且级数之和为 $3$ ，则其前两项之和为

If the first term of an infinite geometric series is a positive integer, the common ratio is the reciprocal of a positive integer, and the sum of the series is $3,$ then the sum of the first two terms of the series is

$\frac13$

$\frac23$

$\frac83$

$2$

$\frac92$

答案：C

知识点：等比数列整除性求和

难度评级：1740

小提示：

将首项记为 $a$ ，公比记为 $\frac{1}{n}$

Write the first term as $a$ and the ratio as $\frac{1}{n}$

大提示：

从 $\frac{a}{1-\frac{1}{n}}=3$ 出发，利用 $a,n$ 为正整数且 $n\gt1$

From $\frac{a}{1-\frac{1}{n}}=3,$ use that $a,n$ are positive integers and $n\gt1$

解答：

设首项为 $a$ ，公比为 $\frac{1}{n}$ 。由级数收敛知 $n\gt1$ ，且 $\frac{a}{1-\frac{1}{n}}=3,\qquad a=3-\frac3n\text{。}$ 因而 $n$ 整除 $3$ ，所以 $n=3$ 、 $a=2$ 。前两项之和为 $2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$ 。

因此，正确答案是 C。

Let the first term be $a$ and the ratio $\frac{1}{n}.$ Convergence gives $n\gt1,$ and $\frac{a}{1-\frac{1}{n}}=3,\qquad a=3-\frac3n.$ Thus $n$ divides $3,$ so $n=3$ and $a=2.$ The first two terms sum to $2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}.$

Therefore, the correct answer is C.

1975 AMC 12 第 16 题

答案：C

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题