Question

若

$\begin{gathered} \dfrac{4^x}{2^{x+y}}=8,\\ \dfrac{9^{x+y}}{3^{5y}}=243 \end{gathered}\text{，}$

其中 $x$ 与 $y$ 为实数，则 $xy$ 等于：

If

$\begin{gathered} \dfrac{4^x}{2^{x+y}}=8,\\ \dfrac{9^{x+y}}{3^{5y}}=243, \end{gathered}$

$x$ and $y$ are real numbers, then $xy$ equals:

$1\dfrac34$

$4$

$6$

$12$

$-4$

分别将两个方程改写成以 $2$ 和 $3$ 为底

Rewrite both equations with bases $2$ and $3$

令指数相等，得到关于 $x$ 、 $y$ 的两个线性方程

Equate exponents to obtain two linear equations in $x$ and $y$

第一个方程化为 $2^{x-y}=2^3$ ，所以 $x-y=3$ 。第二个方程化为 $3^{2x-3y}=3^5$ ，所以 $2x-3y=5$ 。解得 $y=1$ 、 $x=4$ ，因此 $xy=4$ 。

因此，正确答案是 B。

The first equation becomes $2^{x-y}=2^3,$ so $x-y=3.$ The second becomes $3^{2x-3y}=3^5,$ so $2x-3y=5.$ Solving gives $y=1,$ $x=4,$ and hence $xy=4.$

Therefore, the correct answer is B.