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1954 AMC 12 第 16 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

16.

若 f(x)=5x2−2x−1f(x)=5x^2-2x-1，则 f(x+h)−f(x)f(x+h)-f(x) 等于：

If f(x)=5x2−2x−1,f(x)=5x^2-2x-1, then f(x+h)−f(x)f(x+h)-f(x) equals:

5h2−2h5h^2-2h

10xh−4x+210xh-4x+2

10xh−2x−210xh-2x-2

h(10x+5h−2)h(10x+5h-2)

3h3h

答案：D
知识点：函数多项式因式分解
难度评级：1340
小提示：

先将 x+hx+h 代入多项式，再减去 f(x)f(x)

Substitute x+hx+h into the polynomial before subtracting f(x)f(x)

大提示：

消去同类项后，提取因式 hh

After cancellation, factor out hh

解答：

展开并消去同类项可得 f(x+h)−f(x)=5(x+h)2−2(x+h)−1−(5x2−2x−1)=10xh+5h2−2h=h(10x+5h−2)。 \begin{gathered} f(x+h)-f(x)\\ =5(x+h)^2-2(x+h)-1\\ {}-(5x^2-2x-1)\\ =10xh+5h^2-2h\\ =h(10x+5h-2) \end{gathered}\text{。}

因此，正确答案是 D。

Expanding and canceling gives f(x+h)−f(x)=5(x+h)2−2(x+h)−1−(5x2−2x−1)=10xh+5h2−2h=h(10x+5h−2). \begin{gathered} f(x+h)-f(x)\\ =5(x+h)^2-2(x+h)-1\\ {}-(5x^2-2x-1)\\ =10xh+5h^2-2h\\ =h(10x+5h-2). \end{gathered}

Thus, the correct answer is D.

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