Question

有多少个三位数由三个互不相同的数字组成，并且其中一个数字是另外两个数字的平均数？

How many three-digit numbers are composed of three distinct digits such that one digit is the average of the other two?

$96$

$104$

$112$

$120$

$256$

答案：C

知识点：等差数列数字分类讨论

难度评级：1630

小提示：

这三个数字必须按某种顺序构成一个等差数列。

The three digits must form an arithmetic progression in some order

大提示：

按公差数出等差数列组，再排列每组数字；含 $0$ 的组排列数较少。

Count the progressions by common difference, then arrange each set, giving fewer arrangements for sets containing $0$

解答：

三个互不相同的数字构成一个递增等差数列。按公差计数：公差为 $1$ 有 $8$ 组，公差为 $2$ 有 $6$ 组，公差为 $3$ 有 $4$ 组，公差为 $4$ 有 $2$ 组，共 $20$ 组。

其中 $4$ 组含有 $0$ （即 $\{0,1,2\}$ ， $\{0,2,4\}$ ， $\{0,3,6\}$ ， $\{0,4,8\}$ ）；每组产生 $2\cdot 2!=4$ 个有效三位数，因为 $0$ 不能放在首位。

另外 $16$ 组各产生 $3!=6$ 个数。总数为 $4\cdot 4+16\cdot 6=112$ 。

因此，正确答案是 C。

The three distinct digits form an increasing arithmetic progression. Counting by common difference: $8$ with difference $1,$ $6$ with difference $2,$ $4$ with difference $3,$ and $2$ with difference $4,$ for $20$ sets.

Of these, $4$ sets contain $0$ (namely $\{0,1,2\},$ $\{0,2,4\},$ $\{0,3,6\},$ $\{0,4,8\}$ ); each yields $2\cdot 2!=4$ valid numbers since $0$ cannot lead.

The other $16$ sets each yield $3!=6$ numbers. The total is $4\cdot 4+16\cdot 6=112.$

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 12A 第 16 题

答案：C

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题