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2023 AMC 12A 第 16 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

16.

考虑满足 ∣1+z+z2∣=4|1+z+z^2|=4 的复数 zz 的集合。zz 的虚部的最大值可写成 mn\dfrac{\sqrt{m}}{n}，其中 mm 和 nn 是互质正整数。求 m+nm+n？
Consider the set of complex numbers zz satisfying ∣1+z+z2∣=4.|1+z+z^2|=4. The maximum value of the imaginary part of zz can be written in the form mn,\dfrac{\sqrt{m}}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. What is m+n?m+n?
2020
2121
2222
2323
2424
答案：B
知识点：复数最优化
难度评级：1840
小提示：
令 z=x+yiz=x+yi，并展开 ∣1+z+z2∣2=16|1+z+z^2|^2=16。
Write z=x+yiz=x+yi and expand ∣1+z+z2∣2=16|1+z+z^2|^2=16
大提示：
使 yy 最大时会出现对称情形 x=−12x=-\tfrac12；再用所得方程解 yy。
Maximizing yy forces the symmetric case x=−12;x=-\tfrac12; solve the resulting equation for yy
解答：
令 z=x+yiz=x+yi。则 1+z+z21+z+z^2 =(1+x+x2−y2)=(1+x+x^2-y^2) +y(1+2x)i+y(1+2x)i，约束条件为 (1+x+x2−y2)2+y2(1+2x)2=16。 \begin{gathered} (1+x+x^2-y^2)^2\\ {}+y^2(1+2x)^2=16 \end{gathered}\text{。}
在这条闭合有界曲线上 yy 取最大值的点处，隐函数求导（或拉格朗日乘数法）给出 (1+2x)(P+2y2)=0(1+2x)\bigl(P+2y^2\bigr)=0，其中 P=1+x+x2−y2P=1+x+x^2-y^2。但 P+2y2=x2+x+1+y2>0P+2y^2=x^2+x+1+y^2\gt 0，所以 x=−12x=-\tfrac12。
此时 1+2x=01+2x=0，约束化为 (34−y2)2=16\left(\tfrac34-y^2\right)^2=16。取 34−y2=−4\tfrac34-y^2=-4，得 y2=194y^2=\tfrac{19}{4}，所以最大值为 y=192y=\dfrac{\sqrt{19}}{2}。
这里 m=19m=19、n=2n=2，所以 m+n=21m+n=21。
所以正确答案是 B。
Write z=x+yi.z=x+yi. Then 1+z+z21+z+z^2 =(1+x+x2−y2)=(1+x+x^2-y^2) +y(1+2x)i,+y(1+2x)i, and the constraint is (1+x+x2−y2)2+y2(1+2x)2=16. \begin{gathered} (1+x+x^2-y^2)^2\\ {}+y^2(1+2x)^2=16. \end{gathered}
At a point where yy is maximal on this closed, bounded curve, implicit differentiation (or Lagrange multipliers) gives (1+2x)(P+2y2)=0,(1+2x)\bigl(P+2y^2\bigr)=0, where P=1+x+x2−y2.P=1+x+x^2-y^2. But P+2y2=x2+x+1+y2>0,P+2y^2=x^2+x+1+y^2\gt 0, so x=−12.x=-\tfrac12.
Then 1+2x=0,1+2x=0, so the constraint reduces to (34−y2)2=16.\left(\tfrac34-y^2\right)^2=16. Taking 34−y2=−4\tfrac34-y^2=-4 gives y2=194,y^2=\tfrac{19}{4}, so the maximum is y=192.y=\dfrac{\sqrt{19}}{2}.
Here m=19m=19 and n=2,n=2, so m+n=21.m+n=21.
Thus, the correct answer is B.
第 15 题#15
完整试卷
第 17 题#17

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