Question

乘积 $(12)(15)(16)$ 中每个因数都用 $b$ 进制表示，并且该乘积等于 $b$ 进制的 $3146$ 。设 $s=12+15+16$ ，其中每一项都用 $b$ 进制表示。则用 $b$ 进制表示的 $s$ 为：

Let the product $(12)(15)(16),$ each factor written in base $b,$ equal $3146$ in base $b.$ Let $s=12+15+16,$ each term expressed in base $b.$ Then $s,$ in base $b,$ is:

$43$

$44$

$45$

$46$

$47$

答案：B

知识点：进制多项式位值

难度评级：2130

小提示：

将三个因数与 $3146_b$ 转换成关于 $b$ 的多项式

Translate the three factors and $3146_b$ into polynomials in $b$

大提示：

所得三次方程的有效进制底数为 $b=9$

The resulting cubic has the valid base $b=9$

解答：

乘积方程为 $\begin{aligned} &(b+2)(b+5)(b+6)\\ &\qquad=3b^3+b^2+4b+6 \end{aligned}\text{。}$ 化简为 $\begin{aligned} b^3-6b^2-24b-27&=0,\\ (b-9)(b^2+3b+3)&=0 \end{aligned}\text{。}$ 因此，有效的进制底数为 $b=9$ 。所求的和为 $3b+13=4b+4$ ，也就是 $44_b$ 。

因此，正确答案是 B。

The product equation is $\begin{aligned} &(b+2)(b+5)(b+6)\\ &\qquad=3b^3+b^2+4b+6. \end{aligned}$ It simplifies to $\begin{aligned} b^3-6b^2-24b-27&=0,\\ (b-9)(b^2+3b+3)&=0. \end{aligned}$ Thus the valid base is $b=9.$ The required sum is $3b+13=4b+4,$ which is $44_b.$

Therefore, the correct answer is B.

1967 AMC 12 第 16 题

答案：B

难度评级：2130

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题