Question

用二项式定理展开 $(a-b)^n$ ，其中 $n\ge2$ 、 $ab\ne0$ 。若令 $a=kb$ ，其中 $k$ 为正整数，展开式的第二项与第三项之和为零，则 $n$ 等于：

When $(a-b)^n,$ $n\ge2,$ $ab\ne0,$ is expanded by the binomial theorem, it is found that, when $a=kb,$ where $k$ is a positive integer, the sum of the second and third terms is zero. Then $n$ equals:

$\dfrac12k(k-1)$

$\dfrac12k(k+1)$

$2k-1$

$2k$

$2k+1$

答案：E

知识点：二项式定理代数变形

难度评级：2010

小提示：

第二项与第三项分别为 $-na^{n-1}b$ 和 $\binom n2a^{n-2}b^2$

The second and third terms are $-na^{n-1}b$ and $\binom n2a^{n-2}b^2$

大提示：

代入 $a=kb$ ，并约去公共的非零因子

Substitute $a=kb$ and cancel the common nonzero factor

解答：

第二项与第三项之和为 $-na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}2a^{n-2}b^2\text{。}$ 代入 $a=kb$ ，再除以非零量 $na^{n-2}b$ ，得 $-k+\frac{n-1}{2}=0\text{。}$ 因此 $n=2k+1$ 。

所以正确答案是 E。

The sum of the second and third terms is $-na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}2a^{n-2}b^2.$ Substituting $a=kb$ and dividing by the nonzero quantity $na^{n-2}b$ gives $-k+\frac{n-1}{2}=0.$ Therefore $n=2k+1.$

Therefore, the correct answer is E.

1969 AMC 12 第 16 题

答案：E

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题