Question

四面体 $ABCD$ 满足 $AB = 5$ ， $AC = 3$ ， $BC = 4$ ， $BD = 4$ ， $AD = 3$ ，且 $CD = \dfrac{12}{5}\sqrt{2}$ 。这个四面体的体积是多少？

Tetrahedron $ABCD$ has $AB = 5,$ $AC = 3,$ $BC = 4,$ $BD = 4,$ $AD = 3,$ and $CD = \dfrac{12}{5}\sqrt{2}.$ What is the volume of the tetrahedron?

$3\sqrt{2}$

$2\sqrt{5}$

$\dfrac{24}{5}$

$3\sqrt{3}$

$\dfrac{24}{5}\sqrt{2}$

答案：C

知识点：立体几何体积直角三角形

难度评级：1840

小提示：

三角形 $ABC$ 和 $ABD$ 都是共用边 $AB$ 的 $3$ - $4$ - $5$ 直角三角形

Triangles $ABC$ and $ABD$ are both $3$ - $4$ - $5$ right triangles sharing the edge $AB$

大提示：

从 $C$ 和 $D$ 向 $AB$ 作高；共同的垂足说明 $CD$ 垂直于底面 $ABC$ 。

Drop altitudes from $C$ and $D$ to $AB;$ their common foot shows $CD$ is perpendicular to base $ABC$

解答：

三角形 $ABC$ 和 $ABD$ 都是 $3$ - $4$ - $5$ 直角三角形，面积为 $6$ ，并共用斜边 $AB$ 。设 $E$ 为从 $C$ 向 $AB$ 所作高的垂足，则 $CE = \dfrac{3\cdot 4}{5} = \dfrac{12}{5}$ 。同样，从 $D$ 向 $AB$ 所作的高也落在同一点 $E$ ，并且 $DE = \dfrac{12}{5}$ 。

三角形 $CDE$ 的边长为 $\dfrac{12}{5}$ ， $\dfrac{12}{5}$ ，和 $CD = \dfrac{12}{5}\sqrt{2}$ ，因此它是以 $E$ 为直角顶点的等腰直角三角形。所以 $DE \perp CE$ 且 $DE \perp AB$ ，从而 $DE$ 垂直于平面 $ABC$ 。

四面体的体积为 $\dfrac{1}{3}\cdot [ABC]\cdot DE = \dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot \dfrac{12}{5}$ $= \dfrac{24}{5}$ 。

因此，正确答案是 C。

Triangles $ABC$ and $ABD$ are $3$ - $4$ - $5$ right triangles with area $6$ and common hypotenuse $AB.$ Let $E$ be the foot of the altitude from $C$ to $AB;$ then $CE = \dfrac{3\cdot 4}{5} = \dfrac{12}{5}.$ Likewise the altitude from $D$ meets $AB$ at the same point $E$ with $DE = \dfrac{12}{5}.$

Triangle $CDE$ has sides $\dfrac{12}{5},$ $\dfrac{12}{5},$ and $CD = \dfrac{12}{5}\sqrt{2},$ so it is an isosceles right triangle with the right angle at $E.$ Thus $DE \perp CE$ and $DE \perp AB,$ making $DE$ perpendicular to the plane of $ABC.$

The tetrahedron’s volume is $\dfrac{1}{3}\cdot [ABC]\cdot DE = \dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot \dfrac{12}{5}$ $= \dfrac{24}{5}.$

Thus, the correct answer is C.

2015 AMC 12A 第 16 题

答案：C

难度评级：1840

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