Question

在等边三角形 $ABC$ 内随机选一点 $P$ 。 $\triangle ABP$ 的面积大于 $\triangle ACP$ 和 $\triangle BCP$ 的面积的概率是多少？

A point $P$ is chosen at random in the interior of equilateral triangle $ABC.$ What is the probability that $\triangle ABP$ has a greater area than each of $\triangle ACP$ and $\triangle BCP?$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

答案：C

知识点：几何概率三角形面积对称性

难度评级：1660

小提示：

三个小三角形的底边相等，所以面积只取决于 $P$ 到各边的距离。

The three triangles share equal bases, so their areas depend only on $P$ ’s distances to the sides

大提示：

由三重对称性，每一边对应的三角形成为最大者的概率相同。

By the threefold symmetry each side yields the largest triangle equally often

解答：

$\triangle ABP$ 、 $\triangle ACP$ 、 $\triangle BCP$ 的底边都是等边三角形的边，长度相同，所以它们的面积分别与 $P$ 到对应边的距离成正比。

由等边三角形的三重对称性， $\triangle ABP$ 成为最大面积三角形的概率与另外两个相同，因此概率为 $\dfrac13$ 。

所以正确答案是 C。

The triangles $\triangle ABP,$ $\triangle ACP,$ and $\triangle BCP$ have equal bases (the sides of the equilateral triangle), so their areas are proportional to the distances from $P$ to those sides.

By the threefold symmetry of the equilateral triangle, $\triangle ABP$ is the largest with the same probability as each of the other two, so that probability is $\dfrac13.$

Thus, the correct answer is C.

2003 AMC 12A 第 16 题

答案：C

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题