Question

正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$ ， $M$ 是 $\overline{CD}$ 的中点。以 $M$ 为圆心、半径为 $2$ 的圆与以 $A$ 为圆心、半径为 $4$ 的圆相交于点 $P$ 和 $D$ 。点 $P$ 到 $\overline{AD}$ 的距离是多少？

Square $ABCD$ has sides of length $4,$ and $M$ is the midpoint of $\overline{CD}.$ A circle with radius $2$ and center $M$ intersects a circle with radius $4$ and center $A$ at points $P$ and $D.$ What is the distance from $P$ to $\overline{AD}?$

$3$

$\dfrac{16}{5}$

$\dfrac{13}{4}$

$2\sqrt{3}$

$\dfrac{7}{2}$

答案：B

知识点：坐标几何圆

难度评级：1730

小提示：

把 $D$ 放在原点，令 $A$ 在 $y$ -轴上， $C$ 在 $x$ -轴上。

Put $D$ at the origin with $A$ on the $y$ -axis and $C$ on the $x$ -axis

大提示：

点 $P$ 到 $\overline{AD}$ 的距离就是 $P$ 的 $x$ -坐标。

The distance from $P$ to $\overline{AD}$ is the $x$ -coordinate of $P$

解答：

取 $D=(0,0)$ ， $C=(4,0)$ ， $A=(0,4)$ 。以 $M=(2,0)$ 为圆心的圆为 $(x-2)^2+y^2=4$ ，以 $A$ 为圆心的圆为 $x^2+(y-4)^2=16$ 。

解这两个方程，得到交点 $P=\left(\dfrac{16}{5},\dfrac85\right)$ 。

因为 $\overline{AD}$ 在 $y$ -轴上，点 $P$ 到 $\overline{AD}$ 的距离就是它的 $x$ -坐标，即 $\dfrac{16}{5}$ 。

所以正确答案是 B。

Place $D=(0,0),$ $C=(4,0),$ and $A=(0,4).$ The circle centered at $M=(2,0)$ is $(x-2)^2+y^2=4,$ and the circle centered at $A$ is $x^2+(y-4)^2=16.$

Solving these equations gives the intersection $P=\left(\dfrac{16}{5},\dfrac85\right).$

Since $\overline{AD}$ lies on the $y$ -axis, the distance from $P$ to $\overline{AD}$ is its $x$ -coordinate, $\dfrac{16}{5}.$

Thus, the correct answer is B.

2003 AMC 12A 第 17 题

答案：B

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

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