Question

有多少个非零复数 $z$ 满足：在复平面中， $0$ 、 $z$ 、 $z^3$ 所表示的点是一个等边三角形的三个不同顶点？

How many nonzero complex numbers $z$ have the property that $0,$ $z,$ and $z^3,$ when represented by points in the complex plane, are the three distinct vertices of an equilateral triangle?

$0$

$1$

$2$

$4$

无穷多个

infinitely many

答案：D

知识点：复数等边三角形

难度评级：1910

小提示：

等边意味着 $|z|=|z^3|=|z^3-z|$ 。

Equilateral means $|z|=|z^3|=|z^3-z|$

大提示：

$|z|=|z^3|$ 强制 $|z|=1$ ；然后要求 $|z^2-1|=1$ 。

$|z|=|z^3|$ forces $|z|=1;$ then require $|z^2-1|=1$

解答：

这三个点构成等边三角形，当且仅当 $|z|=|z^3|=|z^3-z|$ 。由 $|z|=|z^3|=|z|^3$ 得 $|z|=1$ 。

于是 $|z^3-z|=|z|\,|z^2-1|=|z^2-1|$ ，所以需要 $|z^2-1|=1$ 。写 $z=e^{i\theta}$ ，则 $|z^2-1|=2|\sin\theta|=1$ ，所以 $|\sin\theta|=\dfrac12$ 。

因此 $\theta=30^\circ,150^\circ,210^\circ,330^\circ$ ，给出四个 $z$ 的值，并且所得顶点互不相同。

所以正确答案是 D。

The three points form an equilateral triangle iff $|z|=|z^3|=|z^3-z|.$ From $|z|=|z^3|=|z|^3$ we get $|z|=1.$

Then $|z^3-z|=|z|\,|z^2-1|=|z^2-1|,$ so we need $|z^2-1|=1.$ Writing $z=e^{i\theta},$ $|z^2-1|=2|\sin\theta|=1,$ so $|\sin\theta|=\dfrac12.$

This gives $\theta=30^\circ,150^\circ,210^\circ,330^\circ,$ four values of $z,$ all yielding distinct vertices.

Thus, D is the correct answer.

2019 AMC 12B 第 17 题

答案：D

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题