Question

直线 $x=k$ 分别与函数 $y=\log_5x$ 和 $y=\log_5(x+4)$ 的图像相交。两个交点之间的距离为 $0.5$ 。已知 $k=a+\sqrt b$ ，其中 $a$ 和 $b$ 都是整数，求 $a+b$ 。

A line $x=k$ intersects the graph of $y=\log_5x$ and the graph of $y=\log_5(x+4).$ The distance between the points of intersection is $0.5.$ Given that $k=a+\sqrt b,$ where $a$ and $b$ are integers, what is $a+b?$

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$7$

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$10$

答案：A

知识点：logarithms radical equations

难度评级：1590

小提示：

两个交点的 $x$ 坐标都是 $k$ ，所以它们之间的距离就是两个对数值之差

Because both points have $x$ -coordinate $k$ , their distance is the difference of their logarithms

大提示：

合并两个对数，再以 $5$ 为底取指数

Combine the logarithms and exponentiate base $5$

解答：

两个交点的竖直距离满足 $\begin{aligned} \log_5(k+4)-\log_5k &=\frac12,\\ \frac{k+4}{k}&=\sqrt5 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $\frac{k+4}{k}=\sqrt5$ ，所以 $k=\frac{4}{\sqrt5-1}=1+\sqrt5$ 。于是 $a+b=1+5=6$ ，正确答案是 A。

The vertical distance is $\begin{aligned} \log_5(k+4)-\log_5k &=\frac12,\\ \frac{k+4}{k}&=\sqrt5. \end{aligned}$ Thus $\frac{k+4}{k}=\sqrt5,$ so $k=\frac{4}{\sqrt5-1}=1+\sqrt5.$ Therefore $a+b=1+5=6,$ and A is correct.

1997 AMC 12 第 17 题

答案：A

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题