Question

三角形 $ABC$ 的边长成等差数列，且最短边长为 $6$ 。如果这个三角形有一个 $120^\circ$ 角，那么 $ABC$ 的面积是多少？

Triangle $ABC$ has side lengths in arithmetic progression, and the smallest side has length $6.$ If the triangle has an angle of $120^\circ,$ what is the area of $ABC?$

$12\sqrt{3}$

$8\sqrt{6}$

$14\sqrt{2}$

$20\sqrt{2}$

$15\sqrt{3}$

答案：E

知识点：等差数列余弦定理三角形面积

难度评级：1630

小提示：

设边长为 $6,\ 6+d,\ 6+2d$ ； $120^\circ$ 角对着最长边

Let the sides be $6,\ 6+d,\ 6+2d;$ the $120^\circ$ angle is opposite the longest side

大提示：

用余弦定理和 $\cos 120^\circ=-\tfrac12$ 求出 $d$ ，再用面积 $=\tfrac12ab\sin 120^\circ$ 。

Apply the law of cosines with $\cos 120^\circ=-\tfrac12$ to find $d,$ then area $=\tfrac12ab\sin 120^\circ$

解答：

设边长为 $6,\ 6+d,\ 6+2d$ 。 $120^\circ$ 角对着最长边，所以 $(6+2d)^2=6^2+(6+d)^2$ $-2\cdot 6\cdot(6+d)\cos 120^\circ$ 。用 $\cos 120^\circ=-\tfrac12$ 得 $3d^2+6d-72=0$ ，所以 $d=4$ ，边长为 $6,10,14$ 。面积为 $\tfrac12\cdot 6\cdot 10\cdot\sin 120^\circ$ $=30\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}$ $=15\sqrt3$ 。

因此，正确答案是 E。

Let the sides be $6,\ 6+d,\ 6+2d.$ The $120^\circ$ angle faces the longest side, so $(6+2d)^2=6^2+(6+d)^2$ $-2\cdot 6\cdot(6+d)\cos 120^\circ.$ Using $\cos 120^\circ=-\tfrac12$ gives $3d^2+6d-72=0,$ so $d=4$ and the sides are $6,10,14.$ The area is $\tfrac12\cdot 6\cdot 10\cdot\sin 120^\circ$ $=30\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}$ $=15\sqrt3.$

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12B 第 17 题

答案：E

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

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