Question

整数 $a$ ， $b$ 和 $c$ 满足 $ab+c=100$ ， $bc+a=87$ ，且 $ca+b=60$ 。 $ab+bc+ca$ 是多少？

Integers $a,$ $b,$ and $c$ satisfy $ab+c=100,$ $bc+a=87,$ and $ca+b=60.$ What is $ab+bc+ca?$

$212$

$247$

$258$

$276$

$284$

答案：D

知识点：方程组因式分解分类讨论

难度评级：1890

小提示：

两两相减，例如 $(ab+c)-(bc+a)$ 可因式分解为 $(a-c)(b-1)=13$

Subtract equations in pairs, e.g. $(ab+c)-(bc+a)$ factors as $(a-c)(b-1)=13$

大提示：

$13$ 是质数，所以 $(a-c,\ b-1)$ 只有少数选择；逐一测试整数解

$13$ is prime, so $(a-c,\ b-1)$ has few options; test them for integer solutions

解答：

第一个方程减去第二个方程得到 $(a-c)(b-1)=13$ 。因此 $\begin{gathered} (a-c,b-1)\in\{(1,13),(13,1),\\ (-1,-13),(-13,-1)\} \end{gathered}\text{。}$ 相应的 $b$ 值为 $14,2,-12,0$ 。把 $a=c+(a-c)$ 代入 $ab+c=100$ ，前两种情形被排除，因为它们分别要求 $15c=86$ 或 $3c=74$ 。 $b=-12$ 的情形给出 $c=-8$ 和 $a=-9$ ，它满足全部三个方程。 $b=0$ 的情形给出 $(a,c)=(87,100)$ ，但不满足 $ca+b=60$ 。因此唯一的整数解是 $(-9,-12,-8)$ ，从而 $ab+bc+ca$ $=108+96+72=276$ 。因此正确答案是 D。

Subtracting the second equation from the first gives $(a-c)(b-1)=13.$ Hence $\begin{gathered} (a-c,b-1)\in\{(1,13),(13,1),\\ (-1,-13),(-13,-1)\}. \end{gathered}$ The corresponding values of $b$ are $14,2,-12,0.$ Substituting $a=c+(a-c)$ into $ab+c=100$ eliminates the first two cases because they would require $15c=86$ or $3c=74.$ The case $b=-12$ gives $c=-8$ and $a=-9,$ which satisfies all three equations. The case $b=0$ gives $(a,c)=(87,100),$ which fails $ca+b=60.$ Thus the unique integer solution is $(-9,-12,-8),$ and $ab+bc+ca$ $=108+96+72=276.$ Thus, the correct answer is D.

2024 AMC 12A 第 17 题

答案：D

难度评级：1890

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解答：

其他年份的第 17 题