Question

设 $f$ 是满足以下性质的函数：

(i) $f(1) = 1$ ，且

(ii) 对任意正整数 $n$ ，都有 $f(2n) = n \cdot f(n)$ 。

$f(2^{100})$ 的值是多少？

Let $f$ be a function with the following properties:

(i) $f(1) = 1,$ and

(ii) $f(2n) = n \cdot f(n)$ for any positive integer $n.$

What is the value of $f(2^{100})?$

$1$

$2^{99}$

$2^{100}$

$2^{4950}$

$2^{9999}$

答案：D

知识点：函数方程递推求和

难度评级：1720

小提示：

反复用 $n = 2^{k}$ 代入规则，展开 $f(2^{100})$ 。

Apply the rule repeatedly with $n = 2^{k}$ to unwind $f(2^{100})$

大提示：

指数按 $1 + 2 + \cdots + 99$ 累加。

The exponent accumulates as $1 + 2 + \cdots + 99$

解答：

在 $f(2n) = n \cdot f(n)$ 中令 $n = 2^{k}$ 得到 $f(2^{k+1}) = 2^{k} \cdot f(2^{k})$ 。

从 $f(2^1) = f(2) = 1 \cdot f(1) = 2^0$ ，展开，指数累加为 $\begin{aligned} f(2^n) &= 2^{0 + 1 + 2 + \cdots + (n-1)} \\ &= 2^{\frac{n(n-1)}{2}} \end{aligned}\text{。}$

因此 $f(2^{100}) = 2^{\frac{100 \cdot 99}{2}} = 2^{4950}$ 。

所以正确答案是 D。

Applying $f(2n) = n \cdot f(n)$ with $n = 2^{k},$ we get $f(2^{k+1}) = 2^{k} \cdot f(2^{k}).$

Unwinding from $f(2^1) = f(2) = 1 \cdot f(1) = 2^0,$ the exponents accumulate: $\begin{aligned} f(2^n) &= 2^{0 + 1 + 2 + \cdots + (n-1)} \\ &= 2^{\frac{n(n-1)}{2}}. \end{aligned}$

Therefore $f(2^{100}) = 2^{\frac{100 \cdot 99}{2}} = 2^{4950}.$

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 12A 第 17 题

答案：D

难度评级：1720

小提示：

大提示：

解答：

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