Question

设 $a$ 为实数，使得方程

$a\cdot(\sin x+\sin(2x))=\sin(3x)$

在区间 $(0,\pi)$ 中有多于一个解。所有这样的 $a$ 组成的集合可写为 $(p,q)\cup(q,r)$ ，其中 $p$ 、 $q$ 和 $r$ 是满足 $p\lt q\lt r$ 的实数。求 $p+q+r$ ？

Suppose $a$ is a real number such that the equation

$a\cdot(\sin x+\sin(2x))=\sin(3x)$

has more than one solution in the interval $(0,\pi).$ The set of all such $a$ can be written in the form $(p,q)\cup(q,r),$ where $p,$ $q,$ and $r$ are real numbers with $p\lt q\lt r.$ What is $p+q+r?$

$-4$

$-1$

$0$

$1$

$4$

答案：A

知识点：三角恒等式分类讨论

难度评级：1990

小提示：

使用 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 和 $\sin 3x=\sin x(4\cos^2 x-1)$

Use $\sin 2x=2\sin x\cos x$ and $\sin 3x=\sin x(4\cos^2 x-1)$

大提示：

除以 $\sin x$ 后，注意 $x=\dfrac{2\pi}{3}$ （此时 $\cos x=-\tfrac12$ ）总是一个解

After dividing by $\sin x,$ note $x=\dfrac{2\pi}{3}$ (where $\cos x=-\tfrac12$ ) is always a solution

解答：

在 $(0,\pi)$ 上， $\sin x\ne0$ ，所以两边除以 $\sin x$ ： $\begin{gathered} a(1+2\cos x)=4\cos^2 x-1 \\ =(2\cos x-1)(2\cos x+1) \end{gathered}\text{。}$

当 $\cos x=-\tfrac12$ （即 $x=\tfrac{2\pi}{3}$ ）时，两边都为零，因此这对每个 $a$ 都是一个解。否则可以约去 $1+2\cos x$ 得 $a=2\cos x-1$ ，即 $\cos x=\dfrac{a+1}{2}$ 。

它给出 $(0,\pi)$ 中第二个解的条件正是 $-1\lt\dfrac{a+1}{2}\lt1$ ，即 $a\in(-3,1)$ ，且当 $a=-2$ 时这个解与 $x=\tfrac{2\pi}{3}$ 相同，不是不同的解。

因此有多于一个解时， $a\in(-3,-2)\cup(-2,1)$ ，所以 $p+q+r=-3-2+1=-4$ 。

因此，正确答案是 A。

Since $\sin x\ne0$ on $(0,\pi),$ divide by $\sin x:$ $\begin{gathered} a(1+2\cos x)=4\cos^2 x-1 \\ =(2\cos x-1)(2\cos x+1). \end{gathered}$

When $\cos x=-\tfrac12$ (that is, $x=\tfrac{2\pi}{3}$ ) both sides vanish, so this is a solution for every $a.$ Otherwise we may cancel $1+2\cos x$ to get $a=2\cos x-1,$ i.e. $\cos x=\dfrac{a+1}{2}.$

This yields a second solution in $(0,\pi)$ exactly when $-1\lt\dfrac{a+1}{2}\lt1,$ that is $a\in(-3,1),$ and it is distinct from $x=\tfrac{2\pi}{3}$ unless $a=-2.$

So more than one solution occurs for $a\in(-3,-2)\cup(-2,1),$ giving $p+q+r=-3-2+1=-4.$

Thus, the correct answer is A.

2022 AMC 12A 第 17 题

答案：A

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题