Question

设 $f(n)=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$ ，其中 $n$ 为正整数。若 $x_k=(-1)^k$ ，其中 $k=1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ 、 $n$ ，则 $f(n)$ 的所有可能值组成的集合为：

Let $f(n)=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n},$ where $n$ is a positive integer. If $x_k=(-1)^k,$ $k=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n,$ the set of possible values of $f(n)$ is:

$\{0\}$

$\left\{\dfrac1n\right\}$

$\left\{0,-\dfrac1n\right\}$

$\left\{0,\dfrac1n\right\}$

$\left\{1,\dfrac1n\right\}$

答案：C

知识点：奇偶性求和平均数

难度评级：1470

小提示：

将相邻项配成 $-1+1$

Pair consecutive terms $-1+1$

大提示：

分别讨论 $n$ 为偶数和奇数

Separate even and odd values of $n$

解答：

若 $n$ 为偶数，各项两两配对后和为 $0$ ，所以 $f(n)=0$ 。若 $n$ 为奇数，最后还剩一个 $-1$ ，所以 $f(n)=-\frac{1}{n}$ 。因此所有可能值为 $\{0,-\frac{1}{n}\}$ 。

因此，正确答案是 C。

If $n$ is even, the terms pair to give sum $0,$ so $f(n)=0.$ If $n$ is odd, one final $-1$ remains, so $f(n)=-\frac{1}{n}.$ The possible values are therefore $\{0,-\frac{1}{n}\}.$

Therefore, the correct answer is C.

1968 AMC 12 第 17 题

答案：C

难度评级：1470

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题