Question

一个 $3\times3$ 数组中的项包含数字 $1$ 到 $9$ ，各一次，并且每一行和每一列中的项都按递增顺序排列。这样的数组有多少个？

The entries in a $3\times3$ array include all the digits from $1$ through $9,$ arranged so that the entries in every row and column are in increasing order. How many such arrays are there?

$18$

$24$

$36$

$42$

$60$

答案：D

知识点：有限制的排列分类讨论

难度评级：1980

小提示：

左上角项被迫为 $1$ ，右下角项被迫为 $9$

The top-left entry is forced to be $1$ and the bottom-right to be $9$

大提示：

按中心项分类；中心项必须是 $4, 5$ ，或 $6$

Split into cases by the center entry, which must be $4, 5,$ or $6$

解答：

记第 $i$ 行第 $j$ 列的项为 $a_{ij}$ 。题设条件迫使 $a_{11}=1$ 、 $a_{33}=9$ ，且 $a_{22}\in\{4,5,6\}$ 。

如果 $a_{22}=4$ 则 $\{a_{12},a_{21}\}=\{2,3\}$ 而 $\{5,6,7,8\}$ 被分成互补的两对，填入最后一行和最后一列剩下的位置：分法有 $\binom42=6$ 种，再乘 $\{2,3\}$ 的 $2$ 种顺序，得到 $12$ 个数组。由对称性， $a_{22}=6$ 也给出 $12$ 个。

如果 $a_{22}=5$ 则 $\{a_{12},a_{13},a_{23}\}$ 和 $\{a_{21},a_{31},a_{32}\}$ 是 $\{2,3,4,6,7,8\}$ 的互补子集，并受递增顺序限制；第一组可以是任意三元子集，只要它不是 $\{2,3,4\}$ 或 $\{6,7,8\}$ ，因此有 $\binom63-2=18$ 个数组。

总共有 $12+12+18=42$ 。

因此，正确答案是 D。

Write $a_{ij}$ for the entry in row $i,$ column $j.$ The conditions force $a_{11}=1,$ $a_{33}=9,$ and $a_{22}\in\{4,5,6\}.$

If $a_{22}=4,$ then $\{a_{12},a_{21}\}=\{2,3\}$ and $\{5,6,7,8\}$ split as complementary pairs filling the rest of the last row and column: $\binom42=6$ splits times $2$ orders for $\{2,3\}$ gives $12$ arrays. By symmetry $a_{22}=6$ also gives $12.$

If $a_{22}=5,$ then $\{a_{12},a_{13},a_{23}\}$ and $\{a_{21},a_{31},a_{32}\}$ are complementary subsets of $\{2,3,4,6,7,8\}$ subject to the ordering constraints. The first set can be any three-element subset except $\{2,3,4\}$ or $\{6,7,8\},$ giving $\binom63-2=18$ arrays.

Altogether $12+12+18=42.$

Thus, the correct answer is D.

2010 AMC 12B 第 17 题

答案：D

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题