Question

若 $a$ 是非零整数， $b$ 是正数，且 $ab^2=\log_{10}b$ 则集合 $\{0,1,a,b,\frac{1}{b}\}$ 的中位数是什么？

If $a$ is a nonzero integer and $b$ is a positive number such that $ab^2=\log_{10}b,$ what is the median of the set $\{0,1,a,b,\frac{1}{b}\}?$

$0$

$1$

$a$

$b$

$\dfrac{1}{b}$

答案：D

知识点：对数不等式中位数（数据）

难度评级：2060

小提示：

对所有 $b\gt0$ 有 $b\lt10^b$ ，所以 $\log_{10}b\lt b$ 。

Since $b\lt10^b$ for all $b\gt0,$ we have $\log_{10}b\lt b$

大提示：

若 $b\ge1$ ，检查 $a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2}$ 是否可能为非零整数。

Rule out $b\ge1$ by checking whether $a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2}$ can be a nonzero integer

解答：

对所有 $b\gt0$ 都有 $b\lt10^b$ ，所以 $\log_{10}b\lt b$ 。若 $b=1$ ，则 $a=0$ ，不符合条件。若 $b\gt1$ ，则 $0\lt\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt1$ ，因此 $a$ 不可能是非零整数。

所以 $0\lt b\lt1$ ，从而 $\log_{10}b\lt0$ ，且 $a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt0$ 。排序为 $a\lt0\lt b\lt1\lt\dfrac1b$ ，所以中位数是 $b$ 。

所以正确答案是 D。

For $b\gt0,$ we have $b\lt10^b,$ hence $\log_{10}b\lt b.$ If $b=1,$ then $a=0.$ If $b\gt1,$ then $0\lt\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt1,$ so $a$ could not be an integer.

Hence $0\lt b\lt1,$ so $\log_{10}b\lt0$ and $a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt0.$ Thus $a\lt0\lt b\lt1\lt\dfrac1b,$ and the middle value of the sorted set is $b.$

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 12B 第 17 题

答案：D

难度评级：2060

小提示：

大提示：

解答：

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