Question

设 $f(x)=10^{10x}$ ， $g(x)=\log_{10}\!\left(\dfrac{x}{10}\right)$ ， $h_1(x)=g(f(x))$ ；对整数 $n\ge2$ ，令 $h_n(x)=h_1(h_{n-1}(x))$ 。 $h_{2011}(1)$ 的各位数字之和是多少？

Let $f(x)=10^{10x},$ $g(x)=\log_{10}\!\left(\dfrac{x}{10}\right),$ $h_1(x)=g(f(x)),$ and $h_n(x)=h_1(h_{n-1}(x))$ for integers $n\ge2.$ What is the sum of the digits of $h_{2011}(1)?$

$16{,}081$

$16{,}089$

$18{,}089$

$18{,}098$

$18{,}099$

答案：B

知识点：对数递推数字

难度评级：1980

小提示：

将 $h_1(x)=\log_{10}\!\left(\dfrac{10^{10x}}{10}\right)$ 化简成一次函数。

Simplify $h_1(x)=\log_{10}\!\left(\dfrac{10^{10x}}{10}\right)$ to a linear function

大提示：

迭代后， $h_n(1)$ 是一个数字全为 $8$ 、末位为 $9$ 的数。

Iterating gives $h_n(1)$ as a number whose digits are all $8$ ’s ending in a $9$

解答：

首先， $\begin{aligned} h_1(x) &=\log_{10}\!\left(\dfrac{10^{10x}}{10}\right) \\ &=\log_{10}\!\left(10^{10x-1}\right) \\ &=10x-1 \end{aligned}\text{。}$

迭代可得 $h_n(x)=10^n x$ $-(1+10+\cdots+10^{n-1})$ 。因此 $h_n(1)$ 是一个 $n$ 位整数，个位为 $9$ ，其余各位都是 $8$ 。

当 $n=2011$ 时，数字和为 $8\cdot2010+9=16{,}089\text{。}$

所以正确答案是 B。

First, $\begin{aligned} h_1(x) &=\log_{10}\!\left(\dfrac{10^{10x}}{10}\right) \\ &=\log_{10}\!\left(10^{10x-1}\right) \\ &=10x-1. \end{aligned}$

Iterating, $h_n(x)=10^n x$ $-(1+10+\cdots+10^{n-1}).$ Therefore $h_n(1)$ is an $n$ -digit integer whose units digit is $9$ and all of whose other digits are $8.$

For $n=2011,$ the digit sum is $8\cdot2010+9=16{,}089.$

Thus, the correct answer is B.

2011 AMC 12B 第 17 题

答案：B

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题