Question

一个 $4\times4\times h$ 的长方体盒子内装有一个半径为 $2$ 的球和八个半径为 $1$ 的小球。每个小球都与盒子的三个面相切，大球与每个小球相切。 $h$ 是多少？

A $4\times4\times h$ rectangular box contains a sphere of radius $2$ and eight smaller spheres of radius $1.$ The smaller spheres are each tangent to three sides of the box, and the larger sphere is tangent to each of the smaller spheres. What is $h?$

$2+2\sqrt7$

$3+2\sqrt5$

$4+2\sqrt7$

$4\sqrt5$

$4\sqrt7$

答案：A

知识点：立体几何球勾股定理

难度评级：1800

小提示：

上方四个小球的球心形成边长为 $2$ 的正方形，大球球心在其正下方的盒子轴线上。

The four top small-sphere centers form a square of side $2$ , directly below the big sphere’s center

大提示：

球心距为 $3$ （半径和），水平偏移为 $\sqrt2$ ，所以竖直差为 $\sqrt{3^2-\sqrt2^2}=\sqrt7$ ；再加上上下各 $1$ 。

With center distance $3$ (sum of radii) and horizontal offset $\sqrt2$ , the vertical gap is $\sqrt{3^2-\sqrt2^2}=\sqrt7$ ; then add $1$ at the top and bottom

解答：

把盒子的一个角放在原点。每个小球位于一个角落，其球心到相邻三个面各相距 $1$ 。上方四个小球的球心构成边长为 $2$ 的正方形，正方形中心在盒子的中轴线上，一个顶点到中心的距离为 $\sqrt2$ 。

大球球心在中轴线上，到每个上方小球球心的距离为 $2+1=3$ ，因此两者的竖直距离为 $\sqrt{3^2-\sqrt2^2}=\sqrt7$ 。

大球球心的高度是 $\dfrac h2$ ，上方小球球心的高度是 $h-1$ ，所以 $(h-1)-\dfrac h2=\sqrt7$ 。由此 $\dfrac h2=1+\sqrt7$ ，并得到 $h=2+2\sqrt7$ 。

所以正确答案是 A。

Place the box with a corner at the origin. Each small sphere sits in a corner with center $1$ unit from three faces. The four top small-sphere centers form a square of side $2,$ whose center lies on the box axis; a corner of that square is $\sqrt2$ from the center.

The big sphere’s center is on the axis, at distance $2+1=3$ from each top small center. The vertical gap between them is $\sqrt{3^2-\sqrt2^2}=\sqrt7.$

The big center is at height $\dfrac h2$ and the top small centers at height $h-1,$ so $(h-1)-\dfrac h2=\sqrt7,$ giving $\dfrac h2=1+\sqrt7$ and $h=2+2\sqrt7.$

Thus, the correct answer is A.

2014 AMC 12A 第 17 题

答案：A

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题