Question

设 $s_k$ 表示多项式 $x^3 - 5x^2 + 8x - 13$ 的所有根的 $k$ 次幂之和。特别地， $s_0 = 3$ 、 $s_1 = 5$ ，且 $s_2 = 9$ 。设 $a$ ， $b$ 和 $c$ 为实数，使得 $s_{k+1} = a\,s_k + b\,s_{k-1} + c\,s_{k-2}$ 对 $k = 2$ ， $3$ ， $\ldots$ 成立。 $a + b + c$ 是多少？

Let $s_k$ denote the sum of the $k$ th powers of the roots of the polynomial $x^3 - 5x^2 + 8x - 13.$ In particular, $s_0 = 3,$ $s_1 = 5,$ and $s_2 = 9.$ Let $a,$ $b,$ and $c$ be real numbers such that $s_{k+1} = a\,s_k + b\,s_{k-1} + c\,s_{k-2}$ for $k = 2,$ $3,$ $\ldots.$ What is $a + b + c?$

$-6$

$0$

$6$

$10$

$26$

答案：D

知识点：牛顿恒等式多项式递推

难度评级：1860

小提示：

每个根 $r$ 都满足 $r^3 = 5r^2 - 8r + 13$ 。

Each root $r$ satisfies $r^3 = 5r^2 - 8r + 13$

大提示：

乘以 $r^{k-2}$ ，再对所有根求和，就能读出 $a, b, c$ 。

Multiply by $r^{k-2}$ and sum over the roots to read off $a, b, c$

解答：

每个根 $r$ 都满足 $r^3 = 5r^2 - 8r + 13$ ，因此 $r^{k+1} = 5r^k - 8r^{k-1} + 13r^{k-2}$ 。

对三个根求和，得到 $s_{k+1} = 5s_k - 8s_{k-1} + 13s_{k-2}$ ，所以 $a = 5$ ， $b = -8$ ， $c = 13$ 。

因此 $a + b + c = 5 - 8 + 13 = 10$ 。

所以正确答案是 D。

Every root $r$ satisfies $r^3 = 5r^2 - 8r + 13,$ so $r^{k+1} = 5r^k - 8r^{k-1} + 13r^{k-2}.$

Summing over the three roots gives $s_{k+1} = 5s_k - 8s_{k-1} + 13s_{k-2},$ so $a = 5,$ $b = -8,$ $c = 13.$

Therefore $a + b + c = 5 - 8 + 13 = 10.$

Thus, the correct answer is D.

2019 AMC 12A 第 17 题

答案：D

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题