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2016 AMC 12B 第 17 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

17.

如图，在 △ABC\triangle ABC 中，AB=7AB=7，BC=8BC=8，CA=9CA=9，且 AH‾\overline{AH} 是高。点 DD、EE 分别在边 AC‾\overline{AC}、AB‾\overline{AB} 上，使得 BD‾\overline{BD} 和 CE‾\overline{CE} 是角平分线，并分别与 AH‾\overline{AH} 交于 QQ 和 PP。PQPQ 是多少？

In △ABC\triangle ABC shown in the figure, AB=7,AB=7, BC=8,BC=8, CA=9,CA=9, and AH‾\overline{AH} is an altitude. Points DD and EE lie on sides AC‾\overline{AC} and AB‾,\overline{AB}, respectively, so that BD‾\overline{BD} and CE‾\overline{CE} are angle bisectors, intersecting AH‾\overline{AH} at QQ and P,P, respectively. What is PQ?PQ?

11

583\dfrac58\sqrt3

452\dfrac45\sqrt2

8155\dfrac{8}{15}\sqrt5

65\dfrac65

答案：D
知识点：角平分线定理高线勾股定理
难度评级：1910
小提示：

令 BH=xBH=x，则 AH2=72−x2=92−(8−x)2AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2，可得 x=2x=2 和 AH=45AH=\sqrt{45}。

Let BH=x.BH=x. Then AH2=72−x2=92−(8−x)2,AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2, which gives x=2x=2 and AH=45AH=\sqrt{45}

大提示：

由角平分线定理，APPH=CACH=96\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96，且 AQQH=BABH=72\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72；然后 PQ=AQ−APPQ=AQ-AP。

By the angle bisector theorem, APPH=CACH=96\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96 and AQQH=BABH=72;\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72; then PQ=AQ−APPQ=AQ-AP

解答：

令 x=BHx=BH，则 CH=8−xCH=8-x。由两个直角三角形可得 AH2=72−x2=92−(8−x)2AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2，所以 x=2x=2，且 AH=45AH=\sqrt{45}。在 △ACH\triangle ACH 中，由角平分线定理，APPH=CACH=96\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96，所以 AP=35AHAP=\dfrac35 AH。同理，在 △ABH\triangle ABH 中，AQQH=BABH=72\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72，所以 AQ=79AHAQ=\dfrac79 AH。于是 PQ=AQ−AP=(79−35)AH=84545=8155。 \begin{aligned} PQ &= AQ-AP \\ &= \left(\dfrac79-\dfrac35\right)AH \\ &= \dfrac{8}{45}\sqrt{45} \\ &= \dfrac{8}{15}\sqrt5 \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 D。

Let x=BH.x=BH. Then CH=8−x,CH=8-x, and from the two right triangles AH2=72−x2=92−(8−x)2.AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2. This gives x=2x=2 and AH=45.AH=\sqrt{45}. By the angle bisector theorem in △ACH,\triangle ACH, APPH=CACH=96,\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96, so AP=35AH.AP=\dfrac35 AH. Similarly in △ABH,\triangle ABH, AQQH=BABH=72,\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72, so AQ=79AH.AQ=\dfrac79 AH. Then PQ=AQ−AP=(79−35)AH=84545=8155. \begin{aligned} PQ &= AQ-AP \\ &= \left(\dfrac79-\dfrac35\right)AH \\ &= \dfrac{8}{45}\sqrt{45} \\ &= \dfrac{8}{15}\sqrt5. \end{aligned}

Thus, the correct answer is D.

第 16 题#16
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第 18 题#18

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