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2016 AMC 12B Problema 17

Intenta el Problema 17 del 2016 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2016 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

17.

En el △ABC\triangle ABC que se muestra en la figura, AB=7,AB=7, BC=8,BC=8, CA=9,CA=9, y AH‾\overline{AH} es una altura. Los puntos DD y EE están sobre los lados AC‾\overline{AC} y AB‾,\overline{AB}, respectivamente, de modo que BD‾\overline{BD} y CE‾\overline{CE} son bisectrices, que cortan a AH‾\overline{AH} en QQ y P,P, respectivamente. ¿Cuánto vale PQPQ?
In △ABC\triangle ABC shown in the figure, AB=7,AB=7, BC=8,BC=8, CA=9,CA=9, and AH‾\overline{AH} is an altitude. Points DD and EE lie on sides AC‾\overline{AC} and AB‾,\overline{AB}, respectively, so that BD‾\overline{BD} and CE‾\overline{CE} are angle bisectors, intersecting AH‾\overline{AH} at QQ and P,P, respectively. What is PQ?PQ?
11
583\dfrac58\sqrt3
452\dfrac45\sqrt2
8155\dfrac{8}{15}\sqrt5
65\dfrac65
Respuesta: D
Conceptos:teorema de la bisectrizalturaTeorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 1910
Pista pequeña:
Sea BH=x.BH=x. Entonces AH2=72−x2=92−(8−x)2,AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2, lo que da x=2x=2 y AH=45AH=\sqrt{45}.
Let BH=x.BH=x. Then AH2=72−x2=92−(8−x)2,AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2, which gives x=2x=2 and AH=45AH=\sqrt{45}
Pista grande:
Por el teorema de la bisectriz, APPH=CACH=96\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96 y AQQH=BABH=72;\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72; entonces PQ=AQ−APPQ=AQ-AP.
By the angle bisector theorem, APPH=CACH=96\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96 and AQQH=BABH=72;\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72; then PQ=AQ−APPQ=AQ-AP
Solución:
Sea x=BH.x=BH. Entonces CH=8−x,CH=8-x, y a partir de los dos triángulos rectángulos AH2=72−x2=92−(8−x)2.AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2. Esto da x=2x=2 y AH=45.AH=\sqrt{45}. Por el teorema de la bisectriz en △ACH,\triangle ACH, APPH=CACH=96,\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96, así que AP=35AH.AP=\dfrac35 AH. De manera similar, en △ABH,\triangle ABH, AQQH=BABH=72,\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72, así que AQ=79AH.AQ=\dfrac79 AH. Entonces PQ=AQ−AP=(79−35)AH=84545=8155. \begin{aligned} PQ &= AQ-AP \\ &= \left(\dfrac79-\dfrac35\right)AH \\ &= \dfrac{8}{45}\sqrt{45} \\ &= \dfrac{8}{15}\sqrt5. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let x=BH.x=BH. Then CH=8−x,CH=8-x, and from the two right triangles AH2=72−x2=92−(8−x)2.AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2. This gives x=2x=2 and AH=45.AH=\sqrt{45}. By the angle bisector theorem in △ACH,\triangle ACH, APPH=CACH=96,\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96, so AP=35AH.AP=\dfrac35 AH. Similarly in △ABH,\triangle ABH, AQQH=BABH=72,\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72, so AQ=79AH.AQ=\dfrac79 AH. Then PQ=AQ−AP=(79−35)AH=84545=8155. \begin{aligned} PQ &= AQ-AP \\ &= \left(\dfrac79-\dfrac35\right)AH \\ &= \dfrac{8}{45}\sqrt{45} \\ &= \dfrac{8}{15}\sqrt5. \end{aligned}
Thus, the correct answer is D.
Problema 16#16
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Problema 18#18

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