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2018 AMC 12B Problema 17

Intenta el Problema 17 del 2018 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2018 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

17.

Sean pp y qq enteros positivos tales que 59<pq<47 \dfrac{5}{9}\lt\dfrac{p}{q}\lt\dfrac{4}{7} y qq sea lo más pequeño posible. ¿Cuánto vale q−pq-p?

Let pp and qq be positive integers such that 59<pq<47 \dfrac{5}{9}\lt\dfrac{p}{q}\lt\dfrac{4}{7} and qq is as small as possible. What is q−p?q-p?

77

1111

1313

1717

1919

Respuesta: A
Conceptos:fraccióndesigualdadacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 2090
Pista pequeña:

Como 9p>5q9p\gt5q y 4q>7p4q\gt7p con miembros enteros, 9p−5q≥19p-5q\ge1 y 4q−7p≥14q-7p\ge1.

Since 9p>5q9p\gt5q and 4q>7p4q\gt7p with integer sides, 9p−5q≥19p-5q\ge1 and 4q−7p≥14q-7p\ge1

Pista grande:

Súmalas después de escribir 47−59=163\tfrac{4}{7}-\tfrac{5}{9}=\tfrac{1}{63} para acotar qq.

Add these after writing 47−59=163\tfrac{4}{7}-\tfrac{5}{9}=\tfrac{1}{63} to bound qq

Solución:

De 59<pq\tfrac59\lt\tfrac pq obtenemos 9p−5q≥1,9p-5q\ge1, y de pq<47\tfrac pq\lt\tfrac47 obtenemos 4q−7p≥1.4q-7p\ge1. Ahora 163=47−59=4q−7p7q+9p−5q9q≥17q+19q=1663q. \begin{gathered} \dfrac{1}{63}=\dfrac47-\dfrac59 \\ =\dfrac{4q-7p}{7q}+\dfrac{9p-5q}{9q} \\ \ge\dfrac{1}{7q}+\dfrac{1}{9q} \\ =\dfrac{16}{63q}. \end{gathered}

Por lo tanto q≥16.q\ge16. Con q=16,q=16, la fracción 916\tfrac{9}{16} está estrictamente entre 59\tfrac59 y 47,\tfrac47, así que p=9p=9 y q−p=16−9=7.q-p=16-9=7.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

From 59<pq\tfrac59\lt\tfrac pq we get 9p−5q≥1,9p-5q\ge1, and from pq<47\tfrac pq\lt\tfrac47 we get 4q−7p≥1.4q-7p\ge1. Now 163=47−59=4q−7p7q+9p−5q9q≥17q+19q=1663q. \begin{gathered} \dfrac{1}{63}=\dfrac47-\dfrac59 \\ =\dfrac{4q-7p}{7q}+\dfrac{9p-5q}{9q} \\ \ge\dfrac{1}{7q}+\dfrac{1}{9q} \\ =\dfrac{16}{63q}. \end{gathered}

Hence q≥16.q\ge16. With q=16,q=16, the fraction 916\tfrac{9}{16} lies strictly between 59\tfrac59 and 47,\tfrac47, so p=9p=9 and q−p=16−9=7.q-p=16-9=7.

Thus, the correct answer is A.

Problema 16#16
Examen completo
Problema 18#18

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