Question

A cada cara de un cubo se le pinta una única franja estrecha desde el centro de una arista hasta el centro de la arista opuesta. La elección del par de aristas se hace al azar e independientemente para cada cara. ¿Cuál es la probabilidad de que haya una franja continua que rodee el cubo?

Each face of a cube is given a single narrow stripe painted from the center of one edge to the center of its opposite edge. The choice of the edge pairing is made at random and independently for each face. What is the probability that there is a continuous stripe encircling the cube?

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{3}{16}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{1}{2}$

Solución:

Cada una de las $6$ caras tiene $2$ orientaciones de franja igualmente probables, lo que da $2^6 = 64$ configuraciones.

Una franja que rodea el cubo recorre uno de los $3$ pares de caras opuestas. Al fijar tal banda, las cuatro caras por las que pasa deben estar alineadas, con probabilidad $\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{16},$ mientras que las dos caras restantes son libres. Las $3$ bandas posibles son eventos disjuntos, así que la probabilidad es $3 \cdot \dfrac{1}{16} = \dfrac{3}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each of the $6$ faces has $2$ equally likely stripe orientations, for $2^6 = 64$ configurations.

An encircling stripe runs around one of the $3$ pairs of opposite faces. Fixing such a band, the four faces it passes through must be aligned, with probability $\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{16},$ while the two remaining faces are free. The $3$ possible bands are disjoint events, so the probability is $3 \cdot \dfrac{1}{16} = \dfrac{3}{16}.$

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 12B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años