Question

Ocho personas están sentadas alrededor de una mesa circular, cada una con una moneda justa. Las ocho personas lanzan sus monedas y quienes obtienen cara se ponen de pie, mientras que quienes obtienen cruz permanecen sentados. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya dos personas adyacentes de pie?

Eight people are sitting around a circular table, each holding a fair coin. All eight people flip their coins and those who flip heads stand while those who flip tails remain seated. What is the probability that no two adjacent people will stand?

$\dfrac{47}{256}$

$\dfrac{3}{16}$

$\dfrac{49}{256}$

$\dfrac{25}{128}$

$\dfrac{51}{256}$

Solución:

Hay $2^8 = 256$ resultados igualmente probables. Cuenta las disposiciones de personas de pie (caras) sin dos adyacentes alrededor del círculo de $8$ asientos, agrupadas por cuántas personas se ponen de pie.

El número de maneras de elegir $k$ asientos no adyacentes de un círculo de $n$ es $\dfrac{n}{n-k}\dbinom{n-k}{k}.$ Para $n = 8$ esto da $1,\; 8,\; 20,\; 16,\; 2$ para $k = 0,1,2,3,4,$ y más de $4$ personas de pie es imposible sin una adyacencia.

El total es $1 + 8 + 20 + 16 + 2 = 47,$ así que la probabilidad es $\dfrac{47}{256}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

There are $2^8 = 256$ equally likely outcomes. Count the arrangements of standers (heads) with no two adjacent around the circle of $8$ seats, grouped by how many people stand.

The number of ways to choose $k$ non-adjacent seats from a circle of $n$ is $\dfrac{n}{n-k}\dbinom{n-k}{k}.$ For $n = 8$ this gives $1,\; 8,\; 20,\; 16,\; 2$ for $k = 0,1,2,3,4,$ and more than $4$ standers is impossible without an adjacency.

The total is $1 + 8 + 20 + 16 + 2 = 47,$ so the probability is $\dfrac{47}{256}.$

Thus, the correct answer is A.

2015 AMC 12A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años