Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

2001 AMC 12 Problema 17

Intenta el Problema 17 del 2001 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2001 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

17.

Se selecciona al azar un punto PP del interior del pentágono con vértices A=(0,2),A = (0, 2), B=(4,0),B = (4, 0), C=(2π+1,0),C = (2\pi + 1, 0), D=(2π+1,4),D = (2\pi + 1, 4), y E=(0,4).E = (0, 4). ¿Cuál es la probabilidad de que ∠APB\angle APB sea obtuso?

A point PP is selected at random from the interior of the pentagon with vertices A=(0,2),A = (0, 2), B=(4,0),B = (4, 0), C=(2π+1,0),C = (2\pi + 1, 0), D=(2π+1,4),D = (2\pi + 1, 4), and E=(0,4).E = (0, 4). What is the probability that ∠APB\angle APB is obtuse?

15\dfrac{1}{5}

14\dfrac{1}{4}

516\dfrac{5}{16}

38\dfrac{3}{8}

12\dfrac{1}{2}

Respuesta: C
Conceptos:probabilidad geométricaángulo inscritoárea
Nivel de dificultad: 1790
Pista pequeña:

∠APB\angle APB es obtuso exactamente cuando PP está dentro del círculo que tiene a ABAB como diámetro

∠APB\angle APB is obtuse exactly when PP lies inside the circle having ABAB as diameter

Pista grande:

Ese semicírculo está enteramente dentro del pentágono, así que compara su área con el área del pentágono

That semicircle lies entirely inside the pentagon, so compare its area to the pentagon’s area

Solución:

∠APB=90∘\angle APB = 90^\circ cuando PP está sobre el círculo con diámetro AB,AB, centrado en (2,1)(2, 1) con radio ∣AB∣2=202=5.\dfrac{|AB|}{2} = \dfrac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}. El ángulo es obtuso cuando PP está dentro de este círculo.

El semidisco relevante está completamente dentro del pentágono, con área 12π(5)2=5π2.\dfrac{1}{2}\pi(\sqrt{5})^2 = \dfrac{5\pi}{2}.

El pentágono es el rectángulo con esquinas (0,0),(0,0), C,C, D,D, EE menos el triángulo OAB,OAB, así que su área es 4(2π+1)−12(2)(4)=8π. 4(2\pi + 1) - \dfrac{1}{2}(2)(4) = 8\pi.

La probabilidad es 5π28π=516.\dfrac{\frac{5\pi}{2}}{8\pi} = \dfrac{5}{16}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

∠APB=90∘\angle APB = 90^\circ when PP is on the circle with diameter AB,AB, centered at (2,1)(2, 1) with radius ∣AB∣2=202=5.\dfrac{|AB|}{2} = \dfrac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}. The angle is obtuse when PP is inside this circle.

The relevant half-disk lies wholly within the pentagon, with area 12π(5)2=5π2.\dfrac{1}{2}\pi(\sqrt{5})^2 = \dfrac{5\pi}{2}.

The pentagon is the rectangle with corners (0,0),(0,0), C,C, D,D, EE minus triangle OAB,OAB, so its area is 4(2π+1)−12(2)(4)=8π. 4(2\pi + 1) - \dfrac{1}{2}(2)(4) = 8\pi.

The probability is 5π28π=516.\dfrac{\frac{5\pi}{2}}{8\pi} = \dfrac{5}{16}.

Thus, the correct answer is C.

Problema 16#16
Examen completo
Problema 18#18

El Problema 17 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B