Question

Se selecciona al azar un punto $P$ del interior del pentágono con vértices $A = (0, 2),$ $B = (4, 0),$ $C = (2\pi + 1, 0),$ $D = (2\pi + 1, 4),$ y $E = (0, 4).$ ¿Cuál es la probabilidad de que $\angle APB$ sea obtuso?

A point $P$ is selected at random from the interior of the pentagon with vertices $A = (0, 2),$ $B = (4, 0),$ $C = (2\pi + 1, 0),$ $D = (2\pi + 1, 4),$ and $E = (0, 4).$ What is the probability that $\angle APB$ is obtuse?

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{5}{16}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{1}{2}$

Solución:

$\angle APB = 90^\circ$ cuando $P$ está sobre el círculo con diámetro $AB,$ centrado en $(2, 1)$ con radio $\dfrac{|AB|}{2} = \dfrac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}.$ El ángulo es obtuso cuando $P$ está dentro de este círculo.

El semidisco relevante está completamente dentro del pentágono, con área $\dfrac{1}{2}\pi(\sqrt{5})^2 = \dfrac{5\pi}{2}.$

El pentágono es el rectángulo con esquinas $(0,0),$ $C,$ $D,$ $E$ menos el triángulo $OAB,$ así que su área es $4(2\pi + 1) - \dfrac{1}{2}(2)(4) = 8\pi.$

La probabilidad es $\dfrac{5\pi/2}{8\pi} = \dfrac{5}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

$\angle APB = 90^\circ$ when $P$ is on the circle with diameter $AB,$ centered at $(2, 1)$ with radius $\dfrac{|AB|}{2} = \dfrac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}.$ The angle is obtuse when $P$ is inside this circle.

The relevant half-disk lies wholly within the pentagon, with area $\dfrac{1}{2}\pi(\sqrt{5})^2 = \dfrac{5\pi}{2}.$

The pentagon is the rectangle with corners $(0,0),$ $C,$ $D,$ $E$ minus triangle $OAB,$ so its area is $4(2\pi + 1) - \dfrac{1}{2}(2)(4) = 8\pi.$

The probability is $\dfrac{5\pi/2}{8\pi} = \dfrac{5}{16}.$

Thus, the correct answer is C.

2001 AMC 12 Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años