Question

Un disco circular se divide mediante $2n$ radios igualmente espaciados $(n\gt0)$ y una recta secante. El número máximo de regiones no superpuestas en que puede dividirse el disco es:

A circular disk is divided by $2n$ equally spaced radii $(n\gt0)$ and one secant line. The maximum number of nonoverlapping areas into which the disk can be divided is:

$2n+1$

$2n+2$

$3n-1$

$3n$

$3n+1$

Respuesta: E

Conceptos:conteo de regiones conteo de intersecciones círculo

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Comienza con los $2n$ sectores formados por los radios

Begin with the $2n$ sectors made by the radii

Pista grande:

Una secante puede cortar como máximo $n$ radios; cuenta después los segmentos de la cuerda secante

A secant can cross at most $n$ of the radii, so count the pieces of the secant chord

Solución:

Los radios forman primero $2n$ sectores. Una secante que no pase por el centro puede cortar como máximo un radio de cada uno de los $n$ pares opuestos, y por tanto como máximo $n$ radios. Esas intersecciones dividen la cuerda secante en $n+1$ segmentos, cada uno de los cuales añade una región. El máximo es, por tanto, $2n+(n+1)=3n+1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The radii first make $2n$ sectors. A secant not through the center can meet at most one radius in each of $n$ opposite pairs, hence at most $n$ radii. Those intersections divide the secant chord into $n+1$ pieces, each of which adds one region. The maximum is therefore $2n+(n+1)=3n+1.$

Therefore, the correct answer is E.

1971 AMC 12 Problema 17

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años