Question

Si $\theta$ es un ángulo agudo y $\sin2\theta=a,$ entonces $\sin\theta+\cos\theta$ es igual a

If $\theta$ is an acute angle and $\sin2\theta=a,$ then $\sin\theta+\cos\theta$ equals

$\sqrt{a+1}$

$(\sqrt2-1)a+1$

$\sqrt{a+1}-\sqrt{a^2-a}$

$\sqrt{a+1}+\sqrt{a^2-a}$

$\sqrt{a+1}+a^2-a$

Respuesta: A

Conceptos:identidad trigonométrica trigonometría radical

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Eleva al cuadrado la expresión $\sin\theta+\cos\theta$

Square the expression $\sin\theta+\cos\theta$

Pista grande:

Usa $2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$ y el hecho de que la suma buscada es positiva

Use $2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$ and the fact that the desired sum is positive

Solución:

Tenemos $\begin{aligned} (\sin\theta+\cos\theta)^2 &=\sin^2\theta+\cos^2\theta\\ &\quad+2\sin\theta\cos\theta\\ &=1+a. \end{aligned}$ Tanto el seno como el coseno son positivos para un $\theta$ agudo, así que la suma es $\sqrt{a+1}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have $\begin{aligned} (\sin\theta+\cos\theta)^2 &=\sin^2\theta+\cos^2\theta\\ &\quad+2\sin\theta\cos\theta\\ &=1+a. \end{aligned}$ Both sine and cosine are positive for acute $\theta,$ so the sum is $\sqrt{a+1}.$

Therefore, the correct answer is A.

1976 AMC 12 Problema 17

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años