Question

Si $k$ es un número positivo y $f$ es una función tal que, para todo número positivo $x,$ $\left[f(x^2+1)\right]^{\sqrt x}=k,$ entonces, para todo número positivo $y,$ $\left[f\left(\frac{9+y^2}{y^2}\right)\right]^{\sqrt{\frac{12}{y}}}$ es igual a

If $k$ is a positive number and $f$ is a function such that, for every positive number $x,$ $\left[f(x^2+1)\right]^{\sqrt x}=k,$ then, for every positive number $y,$ $\left[f\left(\frac{9+y^2}{y^2}\right)\right]^{\sqrt{\frac{12}{y}}}$ is equal to

$\sqrt k$

$2k$

$k\sqrt k$

$k^2$

$y\sqrt k$

Respuesta: D

Conceptos:ecuación funcional sustitución exponente

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Elige $x$ de modo que $x^2+1=\frac{9+y^2}{y^2}$

Choose $x$ so that $x^2+1=\frac{9+y^2}{y^2}$

Pista grande:

Después de hacer la sustitución, compara $\sqrt{\frac{12}{y}}$ con $\sqrt x$

Compare $\sqrt{\frac{12}{y}}$ with $\sqrt x$ after making the substitution

Solución:

Sea $x=\frac{3}{y},$ que es positivo. Entonces $\begin{aligned} x^2+1&=\frac{9+y^2}{y^2},\\ \sqrt{\frac{12}{y}}&=2\sqrt x. \end{aligned}$ Por lo tanto, la expresión pedida es $\left(\left[f(x^2+1)\right]^{\sqrt x}\right)^2=k^2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Set $x=\frac{3}{y},$ which is positive. Then $\begin{aligned} x^2+1&=\frac{9+y^2}{y^2},\\ \sqrt{\frac{12}{y}}&=2\sqrt x. \end{aligned}$ Therefore the requested expression is $\left(\left[f(x^2+1)\right]^{\sqrt x}\right)^2=k^2.$

Therefore, the correct answer is D.

1978 AMC 12 Problema 17

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años