Question

Los puntos $A,$ $B,$ $C,$ y $D$ son distintos y están, en ese orden, sobre una recta. Los segmentos $AB,$ $AC,$ y $AD$ tienen longitudes $x,$ $y,$ y $z,$ respectivamente. Si los segmentos $AB$ y $CD$ pueden girarse alrededor de los puntos $B$ y $C,$ respectivamente, de modo que los puntos $A$ y $D$ coincidan para formar un triángulo de área positiva, ¿cuáles de las siguientes tres desigualdades deben satisfacerse? $\begin{aligned} &\text{I. }x\lt\frac z2\\ &\text{II. }y\lt x+\frac z2\\ &\text{III. }y\lt\frac z2 \end{aligned}$

Points $A,$ $B,$ $C,$ and $D$ are distinct and lie, in the given order, on a straight line. Line segments $AB,$ $AC,$ and $AD$ have lengths $x,$ $y,$ and $z,$ respectively. If line segments $AB$ and $CD$ may be rotated about points $B$ and $C,$ respectively, so that points $A$ and $D$ coincide, to form a triangle with positive area, then which of the following three inequalities must be satisfied? $\begin{aligned} &\text{I. }x\lt\frac z2\\ &\text{II. }y\lt x+\frac z2\\ &\text{III. }y\lt\frac z2 \end{aligned}$

solo $\mathrm{I}$

$\mathrm{I}$ only

solo $\mathrm{II}$

$\mathrm{II}$ only

solo $\mathrm{I}$ y $\mathrm{II}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}$ only

solo $\mathrm{II}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ only

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$

Respuesta: C

Conceptos:desigualdad triangular análisis por casos deducción lógica

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Después de los giros, identifica las longitudes de los tres lados del nuevo triángulo

After the rotations, identify the three side lengths of the new triangle

Pista grande:

Aplica las tres desigualdades estrictas del triángulo a $x,$ $y-x,$ y $z-y$

Apply all three strict triangle inequalities to $x,$ $y-x,$ and $z-y$

Solución:

El nuevo triángulo tiene lados de longitudes $x,$ $y-x,$ y $z-y.$ Sus desigualdades del triángulo dan $\begin{aligned} x&\lt(y-x)+(z-y),\\ &\Longrightarrow x\lt \frac{z}{2};\\ y-x&\lt x+(z-y),\\ &\Longrightarrow y\lt x+\frac{z}{2};\\ z-y&\lt x+(y-x),\\ &\Longrightarrow y\gt \frac{z}{2}. \end{aligned}$ Por tanto, I y II deben cumplirse, mientras que III debe fallar.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The new triangle has side lengths $x,$ $y-x,$ and $z-y.$ Its triangle inequalities give $\begin{aligned} x&\lt(y-x)+(z-y),\\ &\Longrightarrow x\lt \frac{z}{2};\\ y-x&\lt x+(z-y),\\ &\Longrightarrow y\lt x+\frac{z}{2};\\ z-y&\lt x+(y-x),\\ &\Longrightarrow y\gt \frac{z}{2}. \end{aligned}$ Thus I and II must hold, while III must fail.

Therefore, the correct answer is C.

1979 AMC 12 Problema 17

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años