Question

Una recta $x=k$ interseca las gráficas de $y=\log_5x$ y $y=\log_5(x+4).$ La distancia entre los puntos de intersección es $0.5.$ Dado que $k=a+\sqrt b,$ donde $a$ y $b$ son enteros, ¿cuánto vale $a+b$ ?

A line $x=k$ intersects the graph of $y=\log_5x$ and the graph of $y=\log_5(x+4).$ The distance between the points of intersection is $0.5.$ Given that $k=a+\sqrt b,$ where $a$ and $b$ are integers, what is $a+b?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Respuesta: A

Conceptos:logarithms radical equations

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Como ambos puntos tienen coordenada $x$ igual a $k$ , su distancia es la diferencia entre sus logaritmos

Because both points have $x$ -coordinate $k$ , their distance is the difference of their logarithms

Pista grande:

Combina los logaritmos y eleva $5$ a la potencia resultante

Combine the logarithms and exponentiate base $5$

Solución:

La distancia vertical satisface $\begin{aligned} \log_5(k+4)-\log_5k &=\frac12,\\ \frac{k+4}{k}&=\sqrt5. \end{aligned}$ Por lo tanto, $\frac{k+4}{k}=\sqrt5,$ así que $k=\frac{4}{\sqrt5-1}=1+\sqrt5.$ Entonces $a+b=1+5=6,$ y A es la respuesta correcta.

The vertical distance is $\begin{aligned} \log_5(k+4)-\log_5k &=\frac12,\\ \frac{k+4}{k}&=\sqrt5. \end{aligned}$ Thus $\frac{k+4}{k}=\sqrt5,$ so $k=\frac{4}{\sqrt5-1}=1+\sqrt5.$ Therefore $a+b=1+5=6,$ and A is correct.

1997 AMC 12 Problema 17

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años