1997 AMC 12 Problema 16
Intenta el Problema 16 del 1997 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1997 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
16.
Las tres sumas de las filas y las tres sumas de las columnas del arreglo son iguales. ¿Cuál es la menor cantidad de entradas que deben modificarse para que las seis sumas sean distintas entre sí?
The three row sums and the three column sums of the array are the same. What is the least number of entries that must be altered to make all six sums different from one another?
Respuesta: D
Pista pequeña:
Si solo se modifican tres entradas, examina las filas y columnas que no contienen ninguna modificación
With only three altered entries, examine the rows and columns containing no alteration
Pista grande:
Para obtener una cota superior, intenta cambiar cuatro entradas de modo que sus efectos sobre las filas y las columnas sean todos distintos
For an upper bound, try changing four entries so that their row and column effects are all distinct
Solución:
Con a lo sumo tres modificaciones, o bien dos de las seis líneas quedan sin cambios, o bien alguna entrada modificada es la única modificación tanto de su fila como de su columna. En el primer caso, esas dos sumas siguen siendo iguales; en el segundo, esa entrada cambia la suma de su fila y la de su columna en la misma cantidad, por lo que esas dos sumas siguen siendo iguales. Cuatro modificaciones bastan: se reemplazan por respectivamente. Las sumas de las filas resultantes son , y las de las columnas son Por lo tanto, el mínimo es y D es la respuesta correcta.
With at most three alterations, either two of the six lines are unchanged, or some altered entry is the only alteration in both its row and its column. In the first case those two sums remain equal; in the second, that entry changes its row sum and column sum by the same amount, so those two sums remain equal. Four suffice: replace by respectively. The resulting row sums are and column sums are Hence the minimum is and D is correct.
El Problema 16 en otros años
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