Si A=20° y B=25°, entonces el valor de (1+\tan A)(1+\tan B) es

1985 AMC 12 Problema 16 — Solución

1985 AMC 12 Problema 16

Intenta el Problema 16 del 1985 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1985 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

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16.

Si $A=20^\circ$ y $B=25^\circ,$ entonces el valor de $(1+\tan A)(1+\tan B)$ es

If $A=20^\circ$ and $B=25^\circ,$ then the value of $(1+\tan A)(1+\tan B)$ is

$\sqrt3$

$2$

$1+\sqrt2$

$2(\tan A+\tan B)$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:identidad trigonométrica trigonometría

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Usa $A+B=45^\circ$ en la fórmula de adición de la tangente

Use $A+B=45^\circ$ in the tangent addition formula

Pista grande:

Expresa $\tan A+\tan B$ en términos de $\tan A\tan B$

Express $\tan A+\tan B$ in terms of $\tan A\tan B$

Solución:

Como $\tan(A+B)=\tan45^\circ=1,$ $\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=1,$ por lo que $\tan A+\tan B$ $=1-\tan A\tan B.$ Entonces $\begin{aligned} &(1+\tan A)(1+\tan B)\\ &\quad=1+(1-\tan A\tan B)\\ &\qquad+\tan A\tan B\\ &\quad=2. \end{aligned}$ La respuesta correcta es B.

Because $\tan(A+B)=\tan45^\circ=1,$ $\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=1,$ so $\tan A+\tan B$ $=1-\tan A\tan B.$ Therefore $\begin{aligned} &(1+\tan A)(1+\tan B)\\ &\quad=1+(1-\tan A\tan B)\\ &\qquad+\tan A\tan B\\ &\quad=2. \end{aligned}$ Thus the correct answer is B.

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