Question

Si $i^2=-1,$ entonces la suma $\begin{aligned} &\cos45^\circ+i\cos135^\circ+\cdots\\ &\quad+i^n\cos(45+90n)^\circ+\cdots\\ &\quad+i^{40}\cos3645^\circ \end{aligned}$ es igual a

If $i^2=-1,$ then the sum $\begin{aligned} &\cos45^\circ+i\cos135^\circ+\cdots\\ &\quad+i^n\cos(45+90n)^\circ+\cdots\\ &\quad+i^{40}\cos3645^\circ \end{aligned}$ equals

$\frac{\sqrt2}{2}$

$-10i\sqrt2$

$\frac{21\sqrt2}{2}$

$\frac{\sqrt2}{2}(21-20i)$

$\frac{\sqrt2}{2}(21+20i)$

Respuesta: D

Conceptos:número complejo identidad trigonométrica sumatoria

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Compara el término de índice $n+2$ con el de índice $n$

Compare the term indexed by $n+2$ with the term indexed by $n$

Pista grande:

Cuenta los índices pares e impares desde $0$ hasta $40$

Count the even and odd indices from $0$ through $40$

Solución:

Sea $u_n=i^n\cos(45+90n)^\circ.$ Entonces $\begin{aligned} u_{n+2} &=i^{n+2}\cos(225+90n)^\circ\\ &=(-i^n)(-\cos(45+90n)^\circ)\\ &=u_n. \end{aligned}$ Cada término de índice par es $\frac{\sqrt2}{2},$ y cada término de índice impar es $-\frac{i\sqrt2}{2}.$ Hay $21$ índices pares y $20$ impares, así que la suma es $\frac{\sqrt2}{2}(21-20i).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $u_n=i^n\cos(45+90n)^\circ.$ Then $\begin{aligned} u_{n+2} &=i^{n+2}\cos(225+90n)^\circ\\ &=(-i^n)(-\cos(45+90n)^\circ)\\ &=u_n. \end{aligned}$ Every even-indexed term equals $\frac{\sqrt2}{2},$ and every odd-indexed term equals $-\frac{i\sqrt2}{2}.$ There are $21$ even indices and $20$ odd indices, so the sum is $\frac{\sqrt2}{2}(21-20i).$

Therefore, the correct answer is D.

1977 AMC 12 Problema 16

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años