Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

2010 AMC 12B Problema 16

Intenta el Problema 16 del 2010 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

16.

Los enteros positivos a,a, b,b, y cc se seleccionan al azar e independientemente con reemplazo del conjunto {1,2,3,…,2010}.\{1, 2, 3, \ldots, 2010\}. ¿Cuál es la probabilidad de que abc+ab+aabc+ab+a sea divisible por 33?

Positive integers a,a, b,b, and cc are randomly and independently selected with replacement from the set {1,2,3,…,2010}.\{1, 2, 3, \ldots, 2010\}. What is the probability that abc+ab+aabc+ab+a is divisible by 3?3?

13\dfrac{1}{3}

2981\dfrac{29}{81}

3181\dfrac{31}{81}

1127\dfrac{11}{27}

1327\dfrac{13}{27}

Respuesta: E
Conceptos:aritmética modularprobabilidad básicaanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1810
Pista pequeña:

Factoriza abc+ab+a=a(bc+b+1);abc+ab+a=a(bc+b+1); cada residuo módulo 33 es igualmente probable

Factor abc+ab+a=a(bc+b+1);abc+ab+a=a(bc+b+1); each residue mod 33 is equally likely

Pista grande:

Si aa es divisible por 33 funciona; de lo contrario se requiere que bc+b+1bc+b+1 sea divisible por 33

If aa is divisible by 33 it works; otherwise require bc+b+1bc+b+1 to be divisible by 33

Solución:

Factoriza abc+ab+a=a(bc+b+1).abc+ab+a=a(bc+b+1). Como 20102010 es múltiplo de 3,3, cada uno de a,b,ca, b, c es uniforme módulo 3.3.

Si aa es divisible por 33 (probabilidad 13\tfrac13), el producto es divisible por 3.3.

Si aa no es divisible por 33 (probabilidad 23\tfrac23), necesitamos que bc+b+1bc+b+1 sea divisible por 3.3. Comprobando residuos, esto se cumple exactamente cuando (b,c)≡(1,1)(b,c)\equiv(1,1) o (2,0)(mod3),(2,0)\pmod3, una probabilidad de 13⋅13+13⋅13=29.\tfrac13\cdot\tfrac13+\tfrac13\cdot\tfrac13=\tfrac29.

La probabilidad total es 13+23⋅29=13+427=1327. \frac13+\frac23\cdot\frac29=\frac13+\frac{4}{27}=\frac{13}{27}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factor abc+ab+a=a(bc+b+1).abc+ab+a=a(bc+b+1). Since 20102010 is a multiple of 3,3, each of a,b,ca, b, c is uniform modulo 3.3.

If aa is divisible by 33 (probability 13\tfrac13), the product is divisible by 3.3.

If aa is not divisible by 33 (probability 23\tfrac23), we need bc+b+1bc+b+1 to be divisible by 3.3. Checking residues, this holds exactly when (b,c)≡(1,1)(b,c)\equiv(1,1) or (2,0)(mod3),(2,0)\pmod3, a probability of 13⋅13+13⋅13=29.\tfrac13\cdot\tfrac13+\tfrac13\cdot\tfrac13=\tfrac29.

The total probability is 13+23⋅29=13+427=1327. \frac13+\frac23\cdot\frac29=\frac13+\frac{4}{27}=\frac{13}{27}.

Thus, the correct answer is E.

Problema 15#15
Examen completo
Problema 17#17

El Problema 16 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B