Question

Los enteros positivos $a, b,$ y $c$ se seleccionan al azar e independientemente con reemplazo del conjunto $\{1, 2, 3, \ldots, 2010\}.$ ¿Cuál es la probabilidad de que $abc+ab+a$ sea divisible por $3$ ?

Positive integers $a, b,$ and $c$ are randomly and independently selected with replacement from the set $\{1, 2, 3, \ldots, 2010\}.$ What is the probability that $abc+ab+a$ is divisible by $3?$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{29}{81}$

$\dfrac{31}{81}$

$\dfrac{11}{27}$

$\dfrac{13}{27}$

Solución:

Factoriza $abc+ab+a=a(bc+b+1).$ Como $2010$ es múltiplo de $3,$ cada uno de $a, b, c$ es uniforme módulo $3.$

Si $3\mid a$ (probabilidad $\tfrac13$ ), el producto es divisible por $3.$

Si $3\nmid a$ (probabilidad $\tfrac23$ ), necesitamos $3\mid bc+b+1.$ Comprobando residuos, esto se cumple exactamente cuando $(b,c)\equiv(1,1)$ o $(2,0)\pmod3,$ una probabilidad de $\tfrac13\cdot\tfrac13+\tfrac13\cdot\tfrac13=\tfrac29.$

La probabilidad total es $\frac13+\frac23\cdot\frac29=\frac13+\frac{4}{27}=\frac{13}{27}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factor $abc+ab+a=a(bc+b+1).$ Since $2010$ is a multiple of $3,$ each of $a, b, c$ is uniform modulo $3.$

If $3\mid a$ (probability $\tfrac13$ ), the product is divisible by $3.$

If $3\nmid a$ (probability $\tfrac23$ ), we need $3\mid bc+b+1.$ Checking residues, this holds exactly when $(b,c)\equiv(1,1)$ or $(2,0)\pmod3,$ a probability of $\tfrac13\cdot\tfrac13+\tfrac13\cdot\tfrac13=\tfrac29.$

The total probability is $\frac13+\frac23\cdot\frac29=\frac13+\frac{4}{27}=\frac{13}{27}.$

Thus, the correct answer is E.

2010 AMC 12B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años