Question

El rombo $ABCD$ tiene lado $2$ y $\angle B=120^\circ.$ La región $R$ consiste en todos los puntos dentro del rombo que están más cerca del vértice $B$ que de cualquiera de los otros tres vértices. ¿Cuál es el área de $R$ ?

Rhombus $ABCD$ has side length $2$ and $\angle B=120^\circ.$ Region $R$ consists of all points inside the rhombus that are closer to vertex $B$ than any of the other three vertices. What is the area of $R?$

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

$1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$2$

Solución:

Sean $E$ y $H$ los puntos medios de $AB$ y $BC.$ La mediatriz de $AB$ que pasa por $E$ corta la diagonal $AC$ en $F,$ y la mediatriz de $BC$ que pasa por $H$ corta $AC$ en $G.$ La región $R$ es el pentágono $BEFGH.$

El triángulo $AFE$ es un triángulo $30$ - $60$ - $90^\circ$ con $AE=1,$ así que su área es $\dfrac12\cdot1\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{6}.$ Los triángulos $BFE$ y $BGH$ son congruentes con él, y $\triangle FBG$ es equilátero, y se divide en dos copias más.

Por lo tanto $R$ consiste en cuatro triángulos congruentes, lo que da área $4\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}=\dfrac{2\sqrt3}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $E$ and $H$ be the midpoints of $AB$ and $BC.$ The perpendicular bisector of $AB$ through $E$ meets diagonal $AC$ at $F,$ and the perpendicular bisector of $BC$ through $H$ meets $AC$ at $G.$ The region $R$ is the pentagon $BEFGH.$

Triangle $AFE$ is a $30$ - $60$ - $90^\circ$ triangle with $AE=1,$ so its area is $\dfrac12\cdot1\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{6}.$ Triangles $BFE$ and $BGH$ are congruent to it, and $\triangle FBG$ is equilateral, splitting into two more copies.

Hence $R$ consists of four congruent triangles, giving area $4\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}=\dfrac{2\sqrt3}{3}.$

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años