Question

A cada vértice del pentágono convexo $ABCDE$ se le debe asignar un color. Hay $6$ colores para elegir, y los extremos de cada diagonal deben tener colores diferentes. ¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

Each vertex of convex pentagon $ABCDE$ is to be assigned a color. There are $6$ colors to choose from, and the ends of each diagonal must have different colors. How many different colorings are possible?

$2520$

$2880$

$3120$

$3250$

$3750$

Solución:

Las diagonales conectan los vértices en el orden $A - C - E - B - D - A,$ que es un $5$ -ciclo. La condición es exactamente que este ciclo esté coloreado de forma propia.

El número de $k$ -coloraciones propias de un ciclo de longitud $n$ es $(k-1)^n + (-1)^n (k-1).$ Con $n = 5$ y $k = 6,$ $\begin{gathered} 5^5 + (-1)^5 \cdot 5 \\ = 3125 - 5 = 3120. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The diagonals connect the vertices in the order $A - C - E - B - D - A,$ which is a $5$ -cycle. The condition is exactly that this cycle is properly colored.

The number of proper $k$ -colorings of a cycle of length $n$ is $(k-1)^n + (-1)^n (k-1).$ With $n = 5$ and $k = 6,$ $\begin{gathered} 5^5 + (-1)^5 \cdot 5 \\ = 3125 - 5 = 3120. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años