Question

Un número triangular es un entero positivo que se puede expresar en la forma $t_n=1+2+3+\cdots+n,$ para algún entero positivo $n.$ Los tres números triangulares más pequeños que también son cuadrados perfectos son $t_1=1=1^2,$ $t_8=36=6^2,$ y $t_{49}=1225=35^2.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos del cuarto número triangular más pequeño que también es un cuadrado perfecto?

A triangular number is a positive integer that can be expressed in the form $t_n=1+2+3+\cdots+n,$ for some positive integer $n.$ The three smallest triangular numbers that are also perfect squares are $t_1=1=1^2,$ $t_8=36=6^2,$ and $t_{49}=1225=35^2.$ What is the sum of the digits of the fourth smallest triangular number that is also a perfect square?

$6$

$9$

$12$

$18$

$27$

Solución:

Los números triangulares cuadrados satisfacen la recurrencia $N_k=34N_{k-1}-N_{k-2}+2.$ Partiendo de $N_2=36$ y $N_3=1225,$ el siguiente término es $N_4=34\cdot1225-36+2$ $=41616.$

En efecto $41616=204^2=\dfrac{288\cdot289}{2},$ así que es a la vez un cuadrado perfecto y $t_{288}.$

La suma de sus dígitos es $4+1+6+1+6=18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Square triangular numbers satisfy the recurrence $N_k=34N_{k-1}-N_{k-2}+2.$ Starting from $N_2=36$ and $N_3=1225,$ the next term is $N_4=34\cdot1225-36+2$ $=41616.$

Indeed $41616=204^2=\dfrac{288\cdot289}{2},$ so it is both a perfect square and $t_{288}.$

The sum of its digits is $4+1+6+1+6=18.$

Thus, the correct answer is D.

2022 AMC 12A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años