2007 AMC 12B Problema 16
Intenta el Problema 16 del 2007 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2007 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
16.
Cada cara de un tetraedro regular se pinta de rojo, blanco o azul. Dos coloraciones se consideran indistinguibles si dos tetraedros congruentes con esas coloraciones pueden rotarse de modo que sus apariencias sean idénticas. ¿Cuántas coloraciones distinguibles son posibles?
Each face of a regular tetrahedron is painted either red, white, or blue. Two colorings are considered indistinguishable if two congruent tetrahedra with those colorings can be rotated so that their appearances are identical. How many distinguishable colorings are possible?
Respuesta: A
Pista pequeña:
El tetraedro tiene simetrías rotacionales; aplica el lema de Burnside.
The tetrahedron has rotational symmetries; apply Burnside’s lemma
Pista grande:
Cuenta las coloraciones fijadas por la identidad, las rotaciones de vértice y las rotaciones de arista.
Count colorings fixed by the identity, the vertex rotations, and the edge rotations
Solución:
El grupo de rotaciones del tetraedro tiene elementos: la identidad, rotaciones de orden alrededor de un eje vértice-cara y rotaciones de orden alrededor de un eje punto-medio-de-arista.
La identidad fija las coloraciones. Cada rotación de vértice fija una cara y hace ciclar las otras tres, así que fija coloraciones; de igual modo cada rotación de arista intercambia dos pares de caras y fija
Por el lema de Burnside, el número de coloraciones distinguibles es
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The rotation group of the tetrahedron has elements: the identity, rotations of order about a vertex-face axis, and rotations of order about an edge-midpoint axis.
The identity fixes all colorings. Each vertex rotation fixes one face and cycles the other three, so it fixes colorings; likewise each edge rotation swaps two pairs of faces and fixes
By Burnside’s lemma the number of distinguishable colorings is
Thus, the correct answer is A.
El Problema 16 en otros años
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