Question

Cada cara de un tetraedro regular se pinta de rojo, blanco o azul. Dos coloraciones se consideran indistinguibles si dos tetraedros congruentes con esas coloraciones pueden rotarse de modo que sus apariencias sean idénticas. ¿Cuántas coloraciones distinguibles son posibles?

Each face of a regular tetrahedron is painted either red, white, or blue. Two colorings are considered indistinguishable if two congruent tetrahedra with those colorings can be rotated so that their appearances are identical. How many distinguishable colorings are possible?

$15$

$18$

$27$

$54$

$81$

Solución:

El grupo de rotaciones del tetraedro tiene $12$ elementos: la identidad, $8$ rotaciones de orden $3$ alrededor de un eje vértice-cara y $3$ rotaciones de orden $2$ alrededor de un eje punto-medio-de-arista.

La identidad fija las $3^4=81$ coloraciones. Cada rotación de vértice fija una cara y hace ciclar las otras tres, así que fija $3^2=9$ coloraciones; de igual modo cada rotación de arista intercambia dos pares de caras y fija $3^2=9.$

Por el lema de Burnside, el número de coloraciones distinguibles es $\dfrac{81+8\cdot9+3\cdot9}{12}=\dfrac{180}{12}=15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The rotation group of the tetrahedron has $12$ elements: the identity, $8$ rotations of order $3$ about a vertex-face axis, and $3$ rotations of order $2$ about an edge-midpoint axis.

The identity fixes all $3^4=81$ colorings. Each vertex rotation fixes one face and cycles the other three, so it fixes $3^2=9$ colorings; likewise each edge rotation swaps two pairs of faces and fixes $3^2=9.$

By Burnside's lemma the number of distinguishable colorings is $\dfrac{81+8\cdot9+3\cdot9}{12}=\dfrac{180}{12}=15.$

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años