Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

2006 AMC 12A Problema 16

Intenta el Problema 16 del 2006 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2006 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

16.

Las circunferencias con centros AA y BB tienen radios 33 y 8,8, respectivamente. Una tangente interna común corta a las circunferencias en CC y D,D, respectivamente. Las rectas ABAB y CDCD se cortan en E,E, y AE=5.AE = 5. ¿Cuánto vale CDCD?

Circles with centers AA and BB have radii 33 and 8,8, respectively. A common internal tangent intersects the circles at CC and D,D, respectively. Lines ABAB and CDCD intersect at E,E, and AE=5.AE = 5. What is CD?CD?

1313

443\dfrac{44}{3}

221\sqrt{221}

255\sqrt{255}

553\dfrac{55}{3}

Respuesta: B
Conceptos:semejanzarecta tangenteTeorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 1760
Pista pequeña:

Los radios ACAC y BDBD son perpendiculares a la tangente, así que △ACE∼△BDE\triangle ACE \sim \triangle BDE.

Radii ACAC and BDBD are perpendicular to the tangent, so △ACE∼△BDE\triangle ACE \sim \triangle BDE

Pista grande:

CE=AE2−AC2=4,CE = \sqrt{AE^2 - AC^2} = 4, y DECE=BDAC\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC}.

CE=AE2−AC2=4,CE = \sqrt{AE^2 - AC^2} = 4, and DECE=BDAC\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC}

Solución:

Los radios cumplen AC⊥CDAC \perp CD y BD⊥CD.BD \perp CD. Por el teorema de Pitágoras, CE=52−32=4.CE = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4.

Como △ACE∼△BDE,\triangle ACE \sim \triangle BDE, obtenemos DECE=BDAC=83,\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC} = \tfrac{8}{3}, así que DE=4⋅83=323.DE = 4 \cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{32}{3}. Entonces CD=CE+DE=4+323=443. \begin{gathered} CD = CE + DE \\ = 4 + \frac{32}{3} \\ = \frac{44}{3}. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The radii satisfy AC⊥CDAC \perp CD and BD⊥CD.BD \perp CD. By the Pythagorean theorem, CE=52−32=4.CE = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4.

Since △ACE∼△BDE,\triangle ACE \sim \triangle BDE, we get DECE=BDAC=83,\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC} = \tfrac{8}{3}, so DE=4⋅83=323.DE = 4 \cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{32}{3}. Then CD=CE+DE=4+323=443. \begin{gathered} CD = CE + DE \\ = 4 + \frac{32}{3} \\ = \frac{44}{3}. \end{gathered}

Thus, the correct answer is B.

Problema 15#15
Examen completo
Problema 17#17

El Problema 16 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B