Question

Las circunferencias con centros $A$ y $B$ tienen radios $3$ y $8,$ respectivamente. Una tangente interna común corta a las circunferencias en $C$ y $D,$ respectivamente. Las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $E,$ y $AE = 5.$ ¿Cuánto vale $CD$ ?

Circles with centers $A$ and $B$ have radii $3$ and $8,$ respectively. A common internal tangent intersects the circles at $C$ and $D,$ respectively. Lines $AB$ and $CD$ intersect at $E,$ and $AE = 5.$ What is $CD?$

$13$

$\dfrac{44}{3}$

$\sqrt{221}$

$\sqrt{255}$

$\dfrac{55}{3}$

Solución:

Los radios cumplen $AC \perp CD$ y $BD \perp CD.$ Por el teorema de Pitágoras, $CE = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4.$

Como $\triangle ACE \sim \triangle BDE,$ obtenemos $\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC} = \tfrac{8}{3},$ así que $DE = 4 \cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{32}{3}.$ Entonces $\begin{gathered} CD = CE + DE \\ = 4 + \frac{32}{3} \\ = \frac{44}{3}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The radii satisfy $AC \perp CD$ and $BD \perp CD.$ By the Pythagorean theorem, $CE = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4.$

Since $\triangle ACE \sim \triangle BDE,$ we get $\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC} = \tfrac{8}{3},$ so $DE = 4 \cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{32}{3}.$ Then $\begin{gathered} CD = CE + DE \\ = 4 + \frac{32}{3} \\ = \frac{44}{3}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 12A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años