Soluciones del 2006 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Los sándwiches en Joe’s Fast Food cuestan $\$3$ cada uno y los refrescos cuestan $\$2$ cada uno. ¿Cuántos dólares costará comprar $5$ sándwiches y $8$ refrescos?

Sandwiches at Joe’s Fast Food cost $\$3$ each and sodas cost $\$2$ each. How many dollars will it cost to purchase $5$ sandwiches and $8$ sodas?

$31$

$32$

$33$

$34$

$35$

Conceptos:dinero

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Multiplica cada precio por su cantidad.

Multiply each price by its quantity

Pista grande:

El total es $5\cdot 3 + 8\cdot 2$ .

The total is $5\cdot 3 + 8\cdot 2$

Solución:

Cinco sándwiches cuestan $5\cdot 3 = 15$ dólares y ocho refrescos cuestan $8\cdot 2 = 16$ dólares. Juntos cuestan $15 + 16 = 31$ dólares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Five sandwiches cost $5\cdot 3 = 15$ dollars and eight sodas cost $8\cdot 2 = 16$ dollars. Together they cost $15 + 16 = 31$ dollars.

Thus, the correct answer is A.

2.

Se define $x \otimes y = x^3 - y.$ ¿Cuánto vale $h \otimes (h \otimes h)$ ?

Define $x \otimes y = x^3 - y.$ What is $h \otimes (h \otimes h)?$

$-h$

$0$

$h$

$2h$

$h^3$

Conceptos:operación personalizada sustitución

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Evalúa primero el $h \otimes h$ interior.

Evaluate the inner $h \otimes h$ first

Pista grande:

$h \otimes h = h^3 - h,$ luego aplica $\otimes$ una vez más.

$h \otimes h = h^3 - h,$ then apply $\otimes$ once more

Solución:

Por la definición, $h \otimes h = h^3 - h.$ Entonces $\begin{gathered} h \otimes (h^3 - h) \\ = h^3 - (h^3 - h) \\ = h. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

By the definition, $h \otimes h = h^3 - h.$ Then $\begin{gathered} h \otimes (h^3 - h) \\ = h^3 - (h^3 - h) \\ = h. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

3.

La razón entre la edad de Mary y la edad de Alice es $3 : 5.$ Alice tiene $30$ años. ¿Cuántos años tiene Mary?

The ratio of Mary’s age to Alice’s age is $3 : 5.$ Alice is $30$ years old. How old is Mary?

$15$

$18$

$20$

$24$

$50$

Conceptos:razón y proporción edades

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

La edad de Mary es $\tfrac{3}{5}$ de la edad de Alice.

Mary’s age is $\tfrac{3}{5}$ of Alice’s age

Pista grande:

Calcula $\tfrac{3}{5}\cdot 30$ .

Compute $\tfrac{3}{5}\cdot 30$

Solución:

La edad de Mary es $\tfrac{3}{5}$ de la de Alice, así que Mary tiene $\tfrac{3}{5}\cdot 30 = 18$ años.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Mary’s age is $\tfrac{3}{5}$ of Alice’s, so Mary is $\tfrac{3}{5}\cdot 30 = 18$ years old.

Thus, the correct answer is B.

4.

Un reloj digital muestra horas y minutos con AM y PM. ¿Cuál es la mayor suma posible de los dígitos en la pantalla?

A digital watch displays hours and minutes with AM and PM. What is the largest possible sum of the digits in the display?

$17$

$19$

$21$

$22$

$23$

Conceptos:dígitos reloj

Nivel de dificultad: 1050

Pista pequeña:

Maximiza por separado los dígitos de los minutos y los dígitos de la hora.

Maximize the minutes digits and the hour digits separately

Pista grande:

Los dos dígitos de los minutos suman a lo más $5+9;$ la mejor hora es el único dígito $9$ .

The two minutes digits sum to at most $5+9;$ the best hour is the single digit $9$

Solución:

Los dos dígitos de los minutos suman a lo más $5 + 9 = 14,$ a los $59$ minutos pasada la hora. Para la hora, un solo dígito $9$ da una suma de dígitos $9,$ lo cual supera a cualquier hora de dos dígitos $(10, 11, 12$ dan a lo más $1 + 2 = 3).$

El total mayor es $14 + 9 = 23,$ que ocurre a las $9\!:\!59.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The two minutes digits sum to at most $5 + 9 = 14,$ at $59$ minutes past the hour. For the hour, a single digit $9$ gives digit sum $9,$ which beats any two-digit hour $(10, 11, 12$ give at most $1 + 2 = 3).$

The largest total is $14 + 9 = 23,$ occurring at $9\!:\!59.$

Thus, the correct answer is E.

5.

Doug y Dave compartieron una pizza con $8$ porciones del mismo tamaño. Doug quería una pizza sencilla, pero Dave quería anchoas en la mitad de la pizza. El costo de una pizza sencilla era $\$8,$ y había un costo adicional de $\$2$ por poner anchoas en una mitad. Dave se comió todas las porciones de pizza con anchoas y una porción sencilla. Doug se comió el resto. Luego cada uno pagó por lo que había comido. ¿Cuántos dólares más pagó Dave que Doug?

Doug and Dave shared a pizza with $8$ equally-sized slices. Doug wanted a plain pizza, but Dave wanted anchovies on half of the pizza. The cost of a plain pizza was $\$8,$ and there was an additional cost of $\$2$ for putting anchovies on one half. Dave ate all the slices of anchovy pizza and one plain slice. Doug ate the remainder. Each then paid for what he had eaten. How many more dollars did Dave pay than Doug?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:fracción dinero

Nivel de dificultad: 1190

Pista pequeña:

La pizza sencilla cuesta $\$8$ por $8$ porciones, así que cada porción sencilla cuesta $\$1$ .

The plain pizza is $\$8$ for $8$ slices, so each plain slice costs $\$1$

Pista grande:

Reparte el recargo de $\$2$ por anchoas entre las $4$ porciones con anchoas, luego suma el costo de cada persona.

Spread the $\$2$ anchovy surcharge over the $4$ anchovy slices, then total each person’s cost

Solución:

Cada porción sencilla cuesta $\$1.$ El cargo de $\$2$ por anchoas se reparte entre las $4$ porciones con anchoas, agregando $\$0.50$ a cada una, así que una porción con anchoas cuesta $\$1.50.$

Dave comió $4$ porciones con anchoas y $1$ porción sencilla: $4\cdot 1.5 + 1 = \$7.$ Doug comió las $3$ porciones sencillas restantes: $\$3.$ Dave pagó $7 - 3 = \$4$ más.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each plain slice costs $\$1.$ The $\$2$ anchovy charge is spread over the $4$ anchovy slices, adding $\$0.50$ each, so an anchovy slice costs $\$1.50.$

Dave ate $4$ anchovy slices and $1$ plain slice: $4\cdot 1.5 + 1 = \$7.$ Doug ate the $3$ remaining plain slices: $\$3.$ Dave paid $7 - 3 = \$4$ more.

Thus, the correct answer is D.

6.

El rectángulo $8 \times 18$ $ABCD$ se corta en dos hexágonos congruentes, como se muestra, de modo que los dos hexágonos pueden reposicionarse sin superponerse para formar un cuadrado. ¿Cuánto vale $y$ ?

The $8 \times 18$ rectangle $ABCD$ is cut into two congruent hexagons, as shown, in such a way that the two hexagons can be repositioned without overlap to form a square. What is $y?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Conceptos:área cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Los dos hexágonos se reensamblan en un cuadrado de área $8\cdot 18$ .

The two hexagons reassemble into a square of area $8\cdot 18$

Pista grande:

El corte en escalera divide el ancho en tres partes horizontales iguales que suman $18$ .

The staircase splits the width into three equal horizontal pieces that sum to $18$

Solución:

Los dos hexágonos forman un cuadrado de área $8 \cdot 18 = 144,$ así que el cuadrado tiene lado $12.$

El corte en escalera divide el ancho en tres partes horizontales iguales de longitud $y,$ que juntas abarcan todo el ancho: $y + y + y = 18,$ así que $y = 6.$ (Los dos escalones verticales suben cada uno $12 - 8 = 4,$ construyendo la altura adicional del cuadrado.)

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The two hexagons form a square of area $8 \cdot 18 = 144,$ so the square has side $12.$

The staircase cut splits the width into three equal horizontal pieces of length $y,$ which together span the full width: $y + y + y = 18,$ so $y = 6.$ (The two vertical steps each rise $12 - 8 = 4,$ building the extra height of the square.)

Thus, the correct answer is A.

7.

Mary es $20\%$ mayor que Sally, y Sally es $40\%$ menor que Danielle. La suma de sus edades es $23.2$ años. ¿Cuántos años cumplirá Mary en su próximo cumpleaños?

Mary is $20\%$ older than Sally, and Sally is $40\%$ younger than Danielle. The sum of their ages is $23.2$ years. How old will Mary be on her next birthday?

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:porcentaje ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Sea la edad de Danielle igual a $x,$ luego expresa las edades de Sally y Mary en términos de $x$ .

Let Danielle’s age be $x,$ then express Sally’s and Mary’s ages in terms of $x$

Pista grande:

Sally $= 0.6x$ y Mary $= 1.2(0.6x) = 0.72x;$ las edades suman $23.2$ .

Sally $= 0.6x$ and Mary $= 1.2(0.6x) = 0.72x;$ the ages sum to $23.2$

Solución:

Sea Danielle de $x$ años. Entonces Sally tiene $0.6x$ y Mary tiene $1.2(0.6x) = 0.72x.$

La suma $x + 0.6x + 0.72x = 2.32x = 23.2$ da $x = 10.$ Así Mary tiene $0.72(10) = 7.2$ años, y en su próximo cumpleaños cumplirá $8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let Danielle be $x$ years old. Then Sally is $0.6x$ and Mary is $1.2(0.6x) = 0.72x.$

The sum $x + 0.6x + 0.72x = 2.32x = 23.2$ gives $x = 10.$ So Mary is $0.72(10) = 7.2$ years old, and on her next birthday she will be $8.$

Thus, the correct answer is B.

8.

¿Cuántos conjuntos de dos o más enteros positivos consecutivos tienen suma $15$ ?

How many sets of two or more consecutive positive integers have a sum of $15?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:sucesión aritmética análisis por casos

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Una sucesión de $n$ enteros consecutivos suma $n$ veces su valor central.

A run of $n$ consecutive integers sums to $n$ times its middle value

Pista grande:

Prueba $n = 2, 3, 4, 5;$ más allá de $5$ la menor suma posible ya supera $15$ .

Test $n = 2, 3, 4, 5;$ beyond $5$ the smallest possible sum already exceeds $15$

Solución:

La suma de $n$ enteros consecutivos es igual a $n$ veces su mediana. Para una suma de $15:$ $n = 2$ da $7 + 8,$ $n = 3$ da $4 + 5 + 6,$ y $n = 5$ da $1 + 2 + 3 + 4 + 5.$

Una sucesión de cuatro enteros consecutivos suma un número par, y más de cinco términos ya superan $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.$ Así que hay $3$ conjuntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The sum of $n$ consecutive integers equals $n$ times their median. For a sum of $15:$ $n = 2$ gives $7 + 8,$ $n = 3$ gives $4 + 5 + 6,$ and $n = 5$ gives $1 + 2 + 3 + 4 + 5.$

A run of four consecutive integers sums to an even number, and more than five terms already exceed $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.$ So there are $3$ sets.

Thus, the correct answer is C.

9.

Oscar compra $13$ lápices y $3$ borradores por $\$1.00.$ Un lápiz cuesta más que un borrador, y ambos artículos cuestan un número entero de centavos. ¿Cuál es el costo total, en centavos, de un lápiz y un borrador?

Oscar buys $13$ pencils and $3$ erasers for $\$1.00.$ A pencil costs more than an eraser, and both items cost a whole number of cents. What is the total cost, in cents, of one pencil and one eraser?

$10$

$12$

$15$

$18$

$20$

Conceptos:Ecuación diofántica divisibilidad

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Agrupa en $3$ conjuntos de un lápiz y un borrador, más $10$ lápices adicionales.

Group as $3$ sets of one pencil and one eraser, plus $10$ extra pencils

Pista grande:

Si $s$ es el costo de un lápiz más un borrador, entonces $3s + 10p = 100,$ así que $3s$ es un múltiplo de $10$ .

If $s$ is the cost of one pencil plus one eraser, then $3s + 10p = 100,$ so $3s$ is a multiple of $10$

Solución:

Sea $p$ el costo de un lápiz y $s$ el costo de un lápiz más un borrador, en centavos. Entonces $13p + 3e = 3s + 10p = 100,$ así que $3s$ es un múltiplo de $10$ menor que $100.$ Por lo tanto $s \in \{10, 20, 30\},$ con $p = 7, 4, 1$ respectivamente.

Como un lápiz cuesta más que un borrador, $p \gt \tfrac{s}{2},$ lo que se cumple solo para $s = 10$ (lápiz $7$ , borrador $3$ ). Así que un lápiz y un borrador cuestan $10$ centavos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $p$ be a pencil’s cost and $s$ the cost of one pencil plus one eraser, in cents. Then $13p + 3e = 3s + 10p = 100,$ so $3s$ is a multiple of $10$ less than $100.$ Hence $s \in \{10, 20, 30\},$ with $p = 7, 4, 1$ respectively.

Since a pencil costs more than an eraser, $p \gt \tfrac{s}{2},$ which holds only for $s = 10$ (pencil $7,$ eraser $3$ ). So one pencil and one eraser cost $10$ cents.

Thus, the correct answer is A.

10.

¿Para cuántos valores reales de $x$ es $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$ un entero?

For how many real values of $x$ is $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$ an integer?

$3$

$6$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:radical conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Haz $\sqrt{120 - \sqrt{x}} = k$ para un entero no negativo $k$ .

Set $\sqrt{120 - \sqrt{x}} = k$ for a nonnegative integer $k$

Pista grande:

Se necesita $k^2 \le 120,$ y cada $k$ válido da un $x = (120 - k^2)^2$ distinto.

Need $k^2 \le 120,$ and each valid $k$ gives a distinct $x = (120 - k^2)^2$

Solución:

Sea $k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}$ un entero. Entonces $k \ge 0$ y $k^2 = 120 - \sqrt{x} \le 120,$ así que $0 \le k \le 10.$

Cada uno de estos $k$ da $\sqrt{x} = 120 - k^2 \ge 0,$ y por ende un valor distinto $x = (120 - k^2)^2.$ Eso da $11$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}$ be an integer. Then $k \ge 0$ and $k^2 = 120 - \sqrt{x} \le 120,$ so $0 \le k \le 10.$

Each such $k$ gives $\sqrt{x} = 120 - k^2 \ge 0,$ hence a distinct value $x = (120 - k^2)^2.$ That is $11$ values.

Thus, the correct answer is E.

11.

¿Cuál de las siguientes opciones describe la gráfica de la ecuación $(x + y)^2 = x^2 + y^2$ ?

Which of the following describes the graph of the equation $(x + y)^2 = x^2 + y^2?$

el conjunto vacío

the empty set

un punto

one point

dos rectas

two lines

una circunferencia

a circle

todo el plano

the entire plane

Conceptos:manipulación algebraica factorización

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Desarrolla $(x + y)^2$ y simplifica.

Expand $(x + y)^2$ and simplify

Pista grande:

La ecuación se reduce a $2xy = 0$ .

The equation reduces to $2xy = 0$

Solución:

Al desarrollar, $x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + y^2,$ así que $2xy = 0,$ es decir $xy = 0.$

Esto es la unión de los dos ejes de coordenadas, un par de rectas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Expanding, $x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + y^2,$ so $2xy = 0,$ i.e. $xy = 0.$

This is the union of the two coordinate axes, a pair of lines.

Thus, the correct answer is C.

12.

Varios anillos enlazados, cada uno de $1$ cm de grosor, cuelgan de un gancho. El anillo superior tiene un diámetro exterior de $20$ cm. El diámetro exterior de cada uno de los otros anillos es $1$ cm menor que el del anillo que está encima. El anillo inferior tiene un diámetro exterior de $3$ cm. ¿Cuál es la distancia, en cm, desde la parte superior del anillo superior hasta la parte inferior del anillo inferior?

A number of linked rings, each $1$ cm thick, are hanging on a peg. The top ring has an outside diameter of $20$ cm. The outside diameter of each of the other rings is $1$ cm less than that of the ring above it. The bottom ring has an outside diameter of $3$ cm. What is the distance, in cm, from the top of the top ring to the bottom of the bottom ring?

$171$

$173$

$182$

$188$

$210$

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

El anillo superior abarca $20$ cm; cada anillo inferior agrega su diámetro exterior menos $2$ por la superposición.

The top ring spans $20$ cm; each lower ring adds its outside diameter minus $2$ for the overlap

Pista grande:

Total $= 20 + (17 + 16 + \cdots + 1)$ .

Total $= 20 + (17 + 16 + \cdots + 1)$

Solución:

El anillo superior abarca $20$ cm. Cada anillo de abajo se superpone con el anillo de arriba en $2$ cm (dos veces el grosor de $1$ cm), así que agrega su diámetro exterior menos $2.$

Los anillos inferiores tienen diámetros exteriores $19, 18, \ldots, 3,$ que aportan $17, 16, \ldots, 1.$ Así, la distancia total es $\begin{gathered} 20 + (17 + 16 + \cdots + 1) \\ = 20 + \frac{17 \cdot 18}{2} \\ = 20 + 153 \\ = 173 \text{ cm}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The top ring spans $20$ cm. Each ring below overlaps the ring above by $2$ cm (twice the $1$ -cm thickness), so it adds its outside diameter minus $2.$

The lower rings have outside diameters $19, 18, \ldots, 3,$ contributing $17, 16, \ldots, 1.$ Thus the total distance is $\begin{gathered} 20 + (17 + 16 + \cdots + 1) \\ = 20 + \frac{17 \cdot 18}{2} \\ = 20 + 153 \\ = 173 \text{ cm}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

13.

Los vértices de un triángulo rectángulo $3$ – $4$ – $5$ son los centros de tres circunferencias tangentes exteriormente entre sí, como se muestra. ¿Cuál es la suma de las áreas de estas circunferencias?

The vertices of a $3$ – $4$ – $5$ right triangle are the centers of three mutually externally tangent circles, as shown. What is the sum of the areas of these circles?

$12\pi$

$\dfrac{25\pi}{2}$

$13\pi$

$\dfrac{27\pi}{2}$

$14\pi$

Conceptos:circunferencias tangentes sistema de ecuaciones área del círculo

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Los radios en dos vértices adyacentes suman la longitud del lado entre ellos.

The radii at two adjacent vertices sum to the side length between them

Pista grande:

Resuelve $r + s = 3,\ r + t = 4,\ s + t = 5$ .

Solve $r + s = 3,\ r + t = 4,\ s + t = 5$

Solución:

Si $r, s, t$ son los radios en los vértices, entonces $r + s = 3,\ r + t = 4,\ s + t = 5.$ Sumando las tres da $r + s + t = 6,$ así que $r = 1,\ s = 2,\ t = 3.$

La suma de las áreas es $\pi(1^2 + 2^2 + 3^2) = 14\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If $r, s, t$ are the radii at the vertices, then $r + s = 3,\ r + t = 4,\ s + t = 5.$ Adding all three gives $r + s + t = 6,$ so $r = 1,\ s = 2,\ t = 3.$

The sum of the areas is $\pi(1^2 + 2^2 + 3^2) = 14\pi.$

Thus, the correct answer is E.

14.

Dos granjeros acuerdan que los cerdos valen $\$300$ y que las cabras valen $\$210.$ Cuando un granjero le debe dinero al otro, paga la deuda con cerdos o cabras, recibiendo “cambio” en forma de cabras o cerdos según sea necesario. (Por ejemplo, una deuda de $\$390$ podría pagarse con dos cerdos, recibiendo una cabra de cambio.) ¿Cuál es el monto de la menor deuda positiva que puede saldarse de esta manera?

Two farmers agree that pigs are worth $\$300$ and that goats are worth $\$210.$ When one farmer owes the other money, he pays the debt in pigs or goats, with “change” received in the form of goats or pigs as necessary. (For example, a $\$390$ debt could be paid with two pigs, with one goat received in change.) What is the amount of the smallest positive debt that can be resolved in this way?

$\$5$

$\$10$

$\$30$

$\$90$

$\$210$

Conceptos:máximo común divisor Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Una deuda saldable tiene la forma $300p + 210g$ para enteros $p, g$ .

A resolvable debt has the form $300p + 210g$ for integers $p, g$

Pista grande:

Todo valor de ese tipo es un múltiplo de $\gcd(300, 210)$ .

Every such value is a multiple of $\gcd(300, 210)$

Solución:

Una deuda $D$ es saldable si y solo si $D = 300p + 210g$ $= 30(10p + 7g)$ para enteros $p, g.$ Así, $D$ es un múltiplo de $\gcd(300, 210) = 30,$ por lo que ninguna deuda positiva menor funciona.

Una deuda de $\$30$ es alcanzable ya que $30 = 300(-2) + 210(3),$ es decir, se entregan $3$ cabras y se reciben $2$ cerdos de cambio.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A debt $D$ is resolvable if and only if $D = 300p + 210g$ $= 30(10p + 7g)$ for integers $p, g.$ Thus $D$ is a multiple of $\gcd(300, 210) = 30,$ so no smaller positive debt works.

A debt of $\$30$ is achievable since $30 = 300(-2) + 210(3),$ i.e. give $3$ goats and receive $2$ pigs in change.

Thus, the correct answer is C.

15.

Supón que $\cos x = 0$ y $\cos(x + z) = \tfrac{1}{2}.$ ¿Cuál es el menor valor positivo posible de $z$ ?

Suppose $\cos x = 0$ and $\cos(x + z) = \tfrac{1}{2}.$ What is the smallest possible positive value of $z?$

$\dfrac{\pi}{6}$

$\dfrac{\pi}{3}$

$\dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{5\pi}{6}$

$\dfrac{7\pi}{6}$

Conceptos:trigonometría

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

$\cos x = 0$ significa que $x$ es un múltiplo impar de $\tfrac{\pi}{2}$ .

$\cos x = 0$ means $x$ is an odd multiple of $\tfrac{\pi}{2}$

Pista grande:

$\cos(x + z) = \tfrac{1}{2}$ significa que $x + z = 2n\pi \pm \tfrac{\pi}{3};$ minimiza $z = (x+z) - x$ .

$\cos(x + z) = \tfrac{1}{2}$ means $x + z = 2n\pi \pm \tfrac{\pi}{3};$ minimize $z = (x+z) - x$

Solución:

Como $\cos x = 0,$ tenemos $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi.$ Como $\cos(x + z) = \tfrac{1}{2},$ tenemos $x + z = 2n\pi \pm \tfrac{\pi}{3}.$

En el círculo unitario, la menor separación angular positiva entre un múltiplo impar de $\tfrac{\pi}{2}$ y un ángulo congruente con $\pm\tfrac{\pi}{3}$ es $\tfrac{\pi}{6}.$ Se alcanza tomando $x = -\tfrac{\pi}{2}$ y $x + z = -\tfrac{\pi}{3},$ lo que da $z = -\tfrac{\pi}{3} + \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{6}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $\cos x = 0,$ we have $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi.$ Since $\cos(x + z) = \tfrac{1}{2},$ we have $x + z = 2n\pi \pm \tfrac{\pi}{3}.$

On the unit circle, the smallest positive angular separation between an odd multiple of $\tfrac{\pi}{2}$ and an angle congruent to $\pm\tfrac{\pi}{3}$ is $\tfrac{\pi}{6}.$ It is attained by taking $x = -\tfrac{\pi}{2}$ and $x + z = -\tfrac{\pi}{3},$ which gives $z = -\tfrac{\pi}{3} + \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{6}.$

Thus, the correct answer is A.

16.

Las circunferencias con centros $A$ y $B$ tienen radios $3$ y $8,$ respectivamente. Una tangente interna común corta a las circunferencias en $C$ y $D,$ respectivamente. Las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $E,$ y $AE = 5.$ ¿Cuánto vale $CD$ ?

Circles with centers $A$ and $B$ have radii $3$ and $8,$ respectively. A common internal tangent intersects the circles at $C$ and $D,$ respectively. Lines $AB$ and $CD$ intersect at $E,$ and $AE = 5.$ What is $CD?$

$13$

$\dfrac{44}{3}$

$\sqrt{221}$

$\sqrt{255}$

$\dfrac{55}{3}$

Conceptos:semejanza recta tangente Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Los radios $AC$ y $BD$ son perpendiculares a la tangente, así que $\triangle ACE \sim \triangle BDE$ .

Radii $AC$ and $BD$ are perpendicular to the tangent, so $\triangle ACE \sim \triangle BDE$

Pista grande:

$CE = \sqrt{AE^2 - AC^2} = 4,$ y $\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC}$ .

$CE = \sqrt{AE^2 - AC^2} = 4,$ and $\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC}$

Solución:

Los radios cumplen $AC \perp CD$ y $BD \perp CD.$ Por el teorema de Pitágoras, $CE = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4.$

Como $\triangle ACE \sim \triangle BDE,$ obtenemos $\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC} = \tfrac{8}{3},$ así que $DE = 4 \cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{32}{3}.$ Entonces $\begin{gathered} CD = CE + DE \\ = 4 + \frac{32}{3} \\ = \frac{44}{3}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The radii satisfy $AC \perp CD$ and $BD \perp CD.$ By the Pythagorean theorem, $CE = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4.$

Since $\triangle ACE \sim \triangle BDE,$ we get $\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC} = \tfrac{8}{3},$ so $DE = 4 \cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{32}{3}.$ Then $\begin{gathered} CD = CE + DE \\ = 4 + \frac{32}{3} \\ = \frac{44}{3}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

17.

El cuadrado $ABCD$ tiene lado $s,$ una circunferencia con centro $E$ tiene radio $r,$ y $r$ y $s$ son ambos racionales. La circunferencia pasa por $D,$ y $D$ está sobre $\overline{BE}.$ El punto $F$ está en la circunferencia, del mismo lado de $\overline{BE}$ que $A.$ El segmento $AF$ es tangente a la circunferencia, y $AF = \sqrt{9 + 5\sqrt{2}}.$ ¿Cuánto vale $\frac{r}{s}$ ?

Square $ABCD$ has side length $s,$ a circle centered at $E$ has radius $r,$ and $r$ and $s$ are both rational. The circle passes through $D,$ and $D$ lies on $\overline{BE}.$ Point $F$ lies on the circle, on the same side of $\overline{BE}$ as $A.$ Segment $AF$ is tangent to the circle, and $AF = \sqrt{9 + 5\sqrt{2}}.$ What is $\frac{r}{s}?$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5}{9}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{5}{3}$

$\dfrac{9}{5}$

Conceptos:potencia de un punto recta tangente geometría analítica

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

La longitud de la tangente cumple $AF^2 = AE^2 - r^2$ .

The tangent length satisfies $AF^2 = AE^2 - r^2$

Pista grande:

Coloca $B$ en el origen; entonces $9 + 5\sqrt{2} = s^2 + rs\sqrt{2},$ e iguala las partes racional e irracional.

Place $B$ at the origin; then $9 + 5\sqrt{2} = s^2 + rs\sqrt{2},$ and match rational and irrational parts

Solución:

Pon $B = (0, 0),$ $C = (s, 0),$ $A = (0, s),$ $D = (s, s),$ de modo que $E = \left(s + \tfrac{r}{\sqrt{2}},\ s + \tfrac{r}{\sqrt{2}}\right)$ está sobre el rayo $BD.$

Como $AF$ es tangente a la circunferencia, $AF^2 = AE^2 - r^2.$ Al calcular $AE^2$ y simplificar se obtiene $9 + 5\sqrt{2} = s^2 + rs\sqrt{2}.$

Como $r$ y $s$ son racionales, las partes racional e irracional coinciden: $s^2 = 9$ y $rs = 5.$ Así $s = 3,\ r = \tfrac{5}{3},$ y $\frac{r}{s} = \tfrac{5}{9}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Set $B = (0, 0),$ $C = (s, 0),$ $A = (0, s),$ $D = (s, s),$ so that $E = \left(s + \tfrac{r}{\sqrt{2}},\ s + \tfrac{r}{\sqrt{2}}\right)$ lies on ray $BD.$

Since $AF$ is tangent to the circle, $AF^2 = AE^2 - r^2.$ Computing $AE^2$ and simplifying gives $9 + 5\sqrt{2} = s^2 + rs\sqrt{2}.$

Because $r$ and $s$ are rational, the rational and irrational parts match: $s^2 = 9$ and $rs = 5.$ Thus $s = 3,\ r = \tfrac{5}{3},$ and $\frac{r}{s} = \tfrac{5}{9}.$

Thus, the correct answer is B.

18.

La función $f$ tiene la propiedad de que para cada número real $x$ en su dominio, $\frac{1}{x}$ también está en su dominio y $f(x) + f\!\left(\frac{1}{x}\right) = x.$ ¿Cuál es el mayor conjunto de números reales que puede estar en el dominio de $f$ ?

The function $f$ has the property that for each real number $x$ in its domain, $\frac{1}{x}$ is also in its domain and $f(x) + f\!\left(\frac{1}{x}\right) = x.$ What is the largest set of real numbers that can be in the domain of $f?$

$\{x \mid x \neq 0\}$

$\{x \mid x \lt 0\}$

$\{x \mid x \gt 0\}$

$\{x \mid x \neq -1,\ x \neq 0,\ x \neq 1\}$

$\{-1, 1\}$

Conceptos:ecuación funcional sustitución

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Sustituye $\frac{1}{x}$ en lugar de $x$ para obtener una segunda ecuación.

Substitute $\frac{1}{x}$ in place of $x$ to get a second equation

Pista grande:

Comparar las dos ecuaciones obliga a que $x = \frac{1}{x}$ .

Comparing the two equations forces $x = \frac{1}{x}$

Solución:

Al reemplazar $x$ por $\frac{1}{x}$ se obtiene $f\!\left(\tfrac{1}{x}\right) + f(x) = \tfrac{1}{x}.$ Junto con $f(x) + f\!\left(\tfrac{1}{x}\right) = x,$ esto exige $x = \tfrac{1}{x},$ así que $x = \pm 1.$

Ambos valores son consistentes, con $f(1) = \tfrac{1}{2}$ y $f(-1) = -\tfrac{1}{2}.$ Así que el mayor dominio posible es $\{-1, 1\}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Replacing $x$ by $\frac{1}{x}$ gives $f\!\left(\tfrac{1}{x}\right) + f(x) = \tfrac{1}{x}.$ Together with $f(x) + f\!\left(\tfrac{1}{x}\right) = x,$ this requires $x = \tfrac{1}{x},$ so $x = \pm 1.$

Both values are consistent, with $f(1) = \tfrac{1}{2}$ and $f(-1) = -\tfrac{1}{2}.$ So the largest possible domain is $\{-1, 1\}.$

Thus, the correct answer is E.

19.

Las circunferencias con centros $(2, 4)$ y $(14, 9)$ tienen radios $4$ y $9,$ respectivamente. La ecuación de una tangente externa común a las circunferencias puede escribirse en la forma $y = mx + b$ con $m \gt 0.$ ¿Cuánto vale $b$ ?

Circles with centers $(2, 4)$ and $(14, 9)$ have radii $4$ and $9,$ respectively. The equation of a common external tangent to the circles can be written in the form $y = mx + b$ with $m \gt 0.$ What is $b?$

$\dfrac{908}{119}$

$\dfrac{909}{119}$

$\dfrac{130}{17}$

$\dfrac{911}{119}$

$\dfrac{912}{119}$

Conceptos:recta tangente identidad trigonométrica geometría analítica

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Cada circunferencia es tangente al eje $x$ , así que el eje $x$ es una tangente externa común.

Each circle is tangent to the $x$ -axis, so the $x$ -axis is one common external tangent

Pista grande:

Las dos tangentes externas se cortan en la recta que pasa por los centros, cuya pendiente es $\tfrac{5}{12} = \tan\theta;$ la otra tangente tiene pendiente $\tan 2\theta$ .

The two external tangents meet on the line through the centers, whose slope is $\tfrac{5}{12} = \tan\theta;$ the other tangent has slope $\tan 2\theta$

Solución:

El radio de cada circunferencia es igual a la coordenada $y$ de su centro, así que ambas son tangentes al eje $x$ , que es una tangente externa común. Las dos tangentes externas se cortan en la intersección con el eje $x$ de la recta que pasa por los centros.

Esa recta tiene pendiente $\tfrac{9 - 4}{14 - 2} = \tfrac{5}{12} = \tan\theta$ y pasa por $(2, 4),$ cortando al eje $x$ en $\left(-\tfrac{38}{5}, 0\right).$

La otra tangente forma un ángulo $2\theta$ con el eje $x$ , así que su pendiente es $\tan 2\theta = \frac{2 \cdot \tfrac{5}{12}}{1 - \left(\tfrac{5}{12}\right)^2} = \frac{120}{119}.$ Entonces $b = \tfrac{120}{119} \cdot \tfrac{38}{5} = \tfrac{912}{119}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each circle’s radius equals its center’s $y$ -coordinate, so both are tangent to the $x$ -axis, which is a common external tangent. The two external tangents meet at the $x$ -intercept of the line through the centers.

That line has slope $\tfrac{9 - 4}{14 - 2} = \tfrac{5}{12} = \tan\theta$ and passes through $(2, 4),$ meeting the $x$ -axis at $\left(-\tfrac{38}{5}, 0\right).$

The other tangent makes angle $2\theta$ with the $x$ -axis, so its slope is $\tan 2\theta = \frac{2 \cdot \tfrac{5}{12}}{1 - \left(\tfrac{5}{12}\right)^2} = \frac{120}{119}.$ Then $b = \tfrac{120}{119} \cdot \tfrac{38}{5} = \tfrac{912}{119}.$

Thus, the correct answer is E.

20.

Un insecto parte de un vértice de un cubo y se mueve a lo largo de las aristas del cubo según la siguiente regla. En cada vértice, el insecto elige recorrer una de las tres aristas que salen de ese vértice. Cada arista tiene la misma probabilidad de ser elegida, y todas las elecciones son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que, después de siete movimientos, el insecto haya visitado cada vértice exactamente una vez?

A bug starts at one vertex of a cube and moves along the edges of the cube according to the following rule. At each vertex the bug will choose to travel along one of the three edges emanating from that vertex. Each edge has equal probability of being chosen, and all choices are independent. What is the probability that after seven moves the bug will have visited every vertex exactly once?

$\dfrac{1}{2187}$

$\dfrac{1}{729}$

$\dfrac{2}{243}$

$\dfrac{1}{81}$

$\dfrac{5}{243}$

Conceptos:probabilidad básica teoría de grafos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Hay $3^7$ recorridos de $7$ movimientos igualmente probables; cuenta los que visitan los $8$ vértices.

There are $3^7$ equally likely $7$ -move walks; count those visiting all $8$ vertices

Pista grande:

Hay $3$ opciones para el primer movimiento y $2$ para el segundo, tras lo cual el camino queda casi forzado.

There are $3$ choices for the first move and $2$ for the second, after which the path is nearly forced

Solución:

Desde el inicio hay $3^7$ recorridos de $7$ movimientos igualmente probables. Considera un recorrido que visita los $8$ vértices: hay $3$ opciones para el primer movimiento y $2$ para el segundo, ya que no puede volver al vértice de partida.

Etiqueta los vértices del cubo con cadenas de tres bits. Por simetría, tras fijar esos dos primeros movimientos podemos tomar los primeros tres vértices como $000,001,011.$ Una revisión de las ramificaciones da exactamente estas tres continuaciones: $\begin{aligned} &010,110,111,101,100,\\ &010,110,100,101,111,\\ &111,101,100,110,010. \end{aligned}$ Por lo tanto hay $3 \cdot 2 \cdot 3 = 18$ recorridos de este tipo.

La probabilidad es $\dfrac{18}{3^7} = \dfrac{18}{2187} = \dfrac{2}{243}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

From the start there are $3^7$ equally likely $7$ -move walks. For a walk visiting all $8$ vertices, there are $3$ choices for the first move and $2$ for the second, since it cannot return to the starting vertex.

Label cube vertices by three-bit strings. By symmetry, after fixing those first two moves we may take the first three vertices to be $000,001,011.$ A branch check gives exactly these three completions: $\begin{aligned} &010,110,111,101,100,\\ &010,110,100,101,111,\\ &111,101,100,110,010. \end{aligned}$ Thus there are $3 \cdot 2 \cdot 3 = 18$ such walks.

The probability is $\dfrac{18}{3^7} = \dfrac{18}{2187} = \dfrac{2}{243}.$

Thus, the correct answer is C.

21.

Sea

$\tiny S_1 = \{(x, y) \mid \log_{10}(1 + x^2 + y^2) \le 1 + \log_{10}(x + y)\}$

y

$\tiny S_2 = \{(x, y) \mid \log_{10}(2 + x^2 + y^2) \le 2 + \log_{10}(x + y)\}.$

¿Cuál es la razón entre el área de $S_2$ y el área de $S_1$ ?

Let

$\tiny S_1 = \{(x, y) \mid \log_{10}(1 + x^2 + y^2) \le 1 + \log_{10}(x + y)\}$

and

$\tiny S_2 = \{(x, y) \mid \log_{10}(2 + x^2 + y^2) \le 2 + \log_{10}(x + y)\}.$

What is the ratio of the area of $S_2$ to the area of $S_1?$

$98$

$99$

$100$

$101$

$102$

Conceptos:logaritmo completar el cuadrado área del círculo

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Para $j = 1, 2,$ reescribe la condición como $j + x^2 + y^2 \le 10^j(x + y)$ .

For $j = 1, 2,$ rewrite the condition as $j + x^2 + y^2 \le 10^j(x + y)$

Pista grande:

Completa el cuadrado para obtener discos, luego compara sus radios al cuadrado.

Complete the square to get disks, then compare their squared radii

Solución:

Para $j = 1, 2,$ la condición se convierte en $j + x^2 + y^2 \le 10^j(x + y),$ es decir, $\begin{gathered} \left(x - \frac{10^j}{2}\right)^2 \\ {}+ \left(y - \frac{10^j}{2}\right)^2 \\ \le \frac{10^{2j}}{2} - j. \end{gathered}$

Son discos con radios al cuadrado $\tfrac{100}{2} - 1 = 49$ para $S_1$ y $\tfrac{10000}{2} - 2 = 4998$ para $S_2.$

Los logaritmos exigen $x+y>0.$ Para cada disco, el cuadrado de la distancia de su centro a la recta $x+y=0$ es $\tfrac{10^{2j}}{2},$ que es $j$ mayor que el radio al cuadrado. Por tanto, ambos discos están completamente en $x+y>0,$ así que no se añadieron puntos al reescribir las desigualdades. La razón de áreas es $\dfrac{4998}{49} = 102.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For $j = 1, 2,$ the condition becomes $j + x^2 + y^2 \le 10^j(x + y),$ i.e. $\begin{gathered} \left(x - \frac{10^j}{2}\right)^2 \\ {}+ \left(y - \frac{10^j}{2}\right)^2 \\ \le \frac{10^{2j}}{2} - j. \end{gathered}$

These are disks with squared radii $\tfrac{100}{2} - 1 = 49$ for $S_1$ and $\tfrac{10000}{2} - 2 = 4998$ for $S_2.$

The logarithms require $x+y>0.$ For each disk, the squared distance from its center to the line $x+y=0$ is $\tfrac{10^{2j}}{2},$ which is $j$ more than the squared radius. Hence both disks lie entirely in $x+y>0,$ so no points were added when the inequalities were rewritten. The area ratio is $\dfrac{4998}{49} = 102.$

Thus, the correct answer is E.

22.

Una circunferencia de radio $r$ es concéntrica y exterior a un hexágono regular de lado $2.$ La probabilidad de que tres lados completos del hexágono sean visibles desde un punto elegido al azar en la circunferencia es $\frac{1}{2}.$ ¿Cuánto vale $r$ ?

A circle of radius $r$ is concentric with and outside a regular hexagon of side length $2.$ The probability that three entire sides of the hexagon are visible from a randomly chosen point on the circle is $\frac{1}{2}.$ What is $r?$

$2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$

$3\sqrt{3} + \sqrt{2}$

$2\sqrt{6} + \sqrt{3}$

$3\sqrt{2} + \sqrt{6}$

$6\sqrt{2} - \sqrt{3}$

Conceptos:probabilidad geométrica polígono regular trigonometría

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Los arcos complementarios, desde los cuales solo se ven dos lados completos, suman la mitad de la circunferencia; por simetría cada uno mide $30^\circ$ .

The complementary arcs, from which only two whole sides are visible, total half the circle; by symmetry each measures $30^\circ$

Pista grande:

La distancia del centro a un lado (la apotema) es $\sqrt{3},$ y $\sqrt{3} = r\sin 15^\circ$ .

The distance from the center to a side (the apothem) is $\sqrt{3},$ and $\sqrt{3} = r\sin 15^\circ$

Solución:

Coloquemos el hexágono en el centro del círculo. A cada vértice le corresponde un arco desde el cual solo se ven por completo los dos lados que se encuentran allí. Estos seis arcos congruentes forman la probabilidad complementaria $\tfrac{1}{2},$ así que cada arco mide $30^\circ.$

Tomemos el arco centrado en el rayo del centro $O$ al vértice $A,$ y sea $P$ su extremo superior. Entonces $\angle POA = 15^\circ,$ y en $P$ un tercer lado acaba de hacerse visible, así que $P$ está en la recta que contiene ese lado. Su distancia a $O$ es la apotema $\sqrt{3}.$

Por tanto, $\sqrt{3} = r\sin 15^\circ = r \cdot \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4},$ lo que da $r = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = 3\sqrt{2} + \sqrt{6}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Place the hexagon at the center of the circle. Corresponding to each vertex is an arc from which only the two sides meeting there are entirely visible. These six congruent arcs make up the complementary probability $\tfrac{1}{2},$ so each arc measures $30^\circ.$

Take the arc centered on the ray from the center $O$ through a vertex $A,$ and let $P$ be its upper endpoint. Then $\angle POA = 15^\circ,$ and at $P$ a third side is just becoming visible, so $P$ lies on that side’s supporting line. Its distance from $O$ is the apothem $\sqrt{3}.$

Hence $\sqrt{3} = r\sin 15^\circ = r \cdot \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4},$ giving $r = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = 3\sqrt{2} + \sqrt{6}.$

Thus, the correct answer is D.

23.

Dada una sucesión finita $S = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ de $n$ números reales, sea $A(S)$ la sucesión $\small \left(\frac{a_1 + a_2}{2}, \frac{a_2 + a_3}{2}, \ldots, \frac{a_{n-1} + a_n}{2}\right)$ de $n - 1$ números reales. Se define $A^1(S) = A(S)$ y, para cada entero $m,$ $2 \le m \le n - 1,$ se define $A^m(S) = A(A^{m-1}(S)).$ Supón que $x \gt 0,$ y sea $S = (1, x, x^2, \ldots, x^{100}).$ Si $A^{100}(S) = (\frac{1}{2^{50}}),$ entonces ¿cuánto vale $x$ ?

Given a finite sequence $S = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ of $n$ real numbers, let $A(S)$ be the sequence $\small \left(\frac{a_1 + a_2}{2}, \frac{a_2 + a_3}{2}, \ldots, \frac{a_{n-1} + a_n}{2}\right)$ of $n - 1$ real numbers. Define $A^1(S) = A(S)$ and, for each integer $m,$ $2 \le m \le n - 1,$ define $A^m(S) = A(A^{m-1}(S)).$ Suppose $x \gt 0,$ and let $S = (1, x, x^2, \ldots, x^{100}).$ If $A^{100}(S) = (\frac{1}{2^{50}}),$ then what is $x?$

$1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2} - 1$

$\dfrac{1}{2}$

$2 - \sqrt{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Conceptos:teorema del binomio recursión

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Aplicar $A$ repetidamente introduce coeficientes binomiales; $A^{100}(S)$ tiene un único término.

Applying $A$ repeatedly introduces binomial coefficients; $A^{100}(S)$ has a single term

Pista grande:

Ese término es $\dfrac{(1 + x)^{100}}{2^{100}}$ .

That term is $\dfrac{(1 + x)^{100}}{2^{100}}$

Solución:

Cada aplicación de $A$ promedia términos adyacentes, así que después de $100$ pasos el único término restante es $\begin{gathered} \frac{1}{2^{100}} \sum_{m=0}^{100} \binom{100}{m} x^m \\ = \frac{(1 + x)^{100}}{2^{100}}. \end{gathered}$

Igualando esto a $\dfrac{1}{2^{50}}$ se obtiene $(1 + x)^{100} = 2^{50},$ así que $1 + x = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}.$ Como $x \gt 0,$ obtenemos $x = \sqrt{2} - 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each application of $A$ averages adjacent terms, so after $100$ steps the single remaining term is $\begin{gathered} \frac{1}{2^{100}} \sum_{m=0}^{100} \binom{100}{m} x^m \\ = \frac{(1 + x)^{100}}{2^{100}}. \end{gathered}$

Setting this equal to $\dfrac{1}{2^{50}}$ gives $(1 + x)^{100} = 2^{50},$ so $1 + x = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}.$ Since $x \gt 0,$ we get $x = \sqrt{2} - 1.$

Thus, the correct answer is B.

24.

La expresión

$(x + y + z)^{2006} + (x - y - z)^{2006}$

se simplifica desarrollándola y combinando términos semejantes. ¿Cuántos términos hay en la expresión simplificada?

The expression

$(x + y + z)^{2006} + (x - y - z)^{2006}$

is simplified by expanding it and combining like terms. How many terms are in the simplified expression?

$6018$

$671{,}676$

$1{,}007{,}514$

$1{,}008{,}016$

$2{,}015{,}028$

Conceptos:teorema del binomio paridad conteo básico

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Un monomio $x^a y^b z^c$ sobrevive solo cuando $a$ es par; los términos con $a$ impar se cancelan.

A monomial $x^a y^b z^c$ survives only when $a$ is even; the odd- $a$ terms cancel

Pista grande:

Para cada $a$ par desde $0$ hasta $2006,$ cuenta los posibles valores de $b$ .

For each even $a$ from $0$ to $2006,$ count the possible values of $b$

Solución:

Un término $x^a y^b z^c$ sobrevive solo cuando $a$ es par, ya que los términos con $a$ impar se cancelan entre los dos desarrollos.

Para cada $a$ par con $0 \le a \le 2006,$ el exponente $b$ toma $2007 - a$ valores y $c = 2006 - a - b$ queda entonces determinado. Al sumar sobre los valores pares de $a:$ $\begin{gathered} (2007 - 0) + (2007 - 2) \\ {}+ \cdots + (2007 - 2006) \\ = 2007 + 2005 + \cdots + 1, \end{gathered}$ la suma de los primeros $1004$ enteros positivos impares, que es $1004^2 = 1{,}008{,}016.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A term $x^a y^b z^c$ survives only when $a$ is even, since terms with odd $a$ cancel between the two expansions.

For each even $a$ with $0 \le a \le 2006,$ the exponent $b$ ranges over $2007 - a$ values and $c = 2006 - a - b$ is then determined. Summing over even $a:$ $\begin{gathered} (2007 - 0) + (2007 - 2) \\ {}+ \cdots + (2007 - 2006) \\ = 2007 + 2005 + \cdots + 1, \end{gathered}$ the sum of the first $1004$ odd positive integers, which is $1004^2 = 1{,}008{,}016.$

Thus, the correct answer is D.

25.

¿Cuántos subconjuntos no vacíos $S$ de $\{1, 2, 3, \ldots, 15\}$ tienen las siguientes dos propiedades?

$(1)$ Ningún par de enteros consecutivos pertenece a $S.$

$(2)$ Si $S$ contiene $k$ elementos, entonces $S$ no contiene ningún número menor que $k.$

How many non-empty subsets $S$ of $\{1, 2, 3, \ldots, 15\}$ have the following two properties?

$(1)$ No two consecutive integers belong to $S.$

$(2)$ If $S$ contains $k$ elements, then $S$ contains no number less than $k.$

$277$

$311$

$376$

$377$

$405$

Conceptos:subconjuntos biyección combinaciones

Nivel de dificultad: 2550

Pista pequeña:

Un conjunto válido de $k$ elementos es un $k$ -subconjunto de $\{k, k+1, \ldots, 15\}$ sin dos consecutivos.

A $k$ -element valid set is a $k$ -subset of $\{k, k+1, \ldots, 15\}$ with no two consecutive

Pista grande:

Tales conjuntos están en biyección con los $k$ -subconjuntos de un conjunto de $(17 - 2k)$ elementos, contados por $\binom{17 - 2k}{k}$ .

Such sets biject with $k$ -subsets of a $(17 - 2k)$ -element set, counted by $\binom{17 - 2k}{k}$

Solución:

Por la propiedad $(2),$ un conjunto válido de $k$ elementos es un $k$ -subconjunto de $\{k, k+1, \ldots, 15\}$ sin dos elementos consecutivos.

Al colapsar los huecos entre los elementos elegidos, estos corresponden biyectivamente a los $k$ -subconjuntos de un conjunto de $(17 - 2k)$ elementos, contados por $\binom{17 - 2k}{k}.$ Esto es distinto de cero solo para $k \le 5,$ así que el total es $\begin{gathered} \binom{15}{1} + \binom{13}{2} \\ {}+ \binom{11}{3} + \binom{9}{4} \\ {}+ \binom{7}{5} \\ = 15 + 78 + 165 + 126 + 21 \\ = 405. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

By property $(2),$ a valid $k$ -element set is a $k$ -subset of $\{k, k+1, \ldots, 15\}$ with no two consecutive elements.

Collapsing the gaps between chosen elements, these correspond bijectively to $k$ -subsets of a $(17 - 2k)$ -element set, counted by $\binom{17 - 2k}{k}.$ This is nonzero only for $k \le 5,$ so the total is $\begin{gathered} \binom{15}{1} + \binom{13}{2} \\ {}+ \binom{11}{3} + \binom{9}{4} \\ {}+ \binom{7}{5} \\ = 15 + 78 + 165 + 126 + 21 \\ = 405. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is E.