Question

Los números $1, 2, \ldots, 9$ se colocan al azar en las $9$ casillas de una cuadrícula $3 \times 3$ . Cada casilla recibe un número, y cada número se usa una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números en cada fila y en cada columna sea impar?

The numbers $1, 2, \ldots, 9$ are randomly placed into the $9$ squares of a $3 \times 3$ grid. Each square gets one number, and each of the numbers is used once. What is the probability that the sum of the numbers in each row and each column is odd?

$\dfrac{1}{21}$

$\dfrac{1}{14}$

$\dfrac{5}{63}$

$\dfrac{2}{21}$

$\dfrac{1}{7}$

Solución:

Hay $5$ números impares y $4$ pares. Cada fila y columna debe contener un número impar de entradas impares.

La única forma de colocar $5$ entradas impares con cada fila y columna impar es llenar una fila completa y una columna completa (una cruz de $3 + 3 - 1 = 5$ casillas). Hay $3 \cdot 3 = 9$ de tales patrones.

Cada patrón admite $5!$ colocaciones de los números impares y $4!$ de los pares, así que la probabilidad es $\dfrac{9 \cdot 5! \cdot 4!}{9!} = \dfrac{1}{14}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $5$ odd and $4$ even numbers. Each row and column must contain an odd number of odd entries.

The only way to place $5$ odd entries with every row and column odd is to fill one complete row and one complete column (a plus shape of $3 + 3 - 1 = 5$ cells). There are $3 \cdot 3 = 9$ such patterns.

Each pattern admits $5!$ placements of the odd numbers and $4!$ of the even numbers, so the probability is $\dfrac{9 \cdot 5! \cdot 4!}{9!} = \dfrac{1}{14}.$

Thus, the correct answer is B.

2019 AMC 12A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años